Menyelesaikan Persamaan Matriks dengan Metode Eliminasi Gauss
Persamaan matriks yang diberikan adalah sebagai berikut: \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 4 & -6 \\ 3 & 2 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 9 \end{array}\right) \] Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss. Metode ini melibatkan serangkaian operasi baris pada matriks yang bertujuan untuk mengubah matriks menjadi bentuk segitiga atas. Setelah matriks dalam bentuk segitiga atas, kita dapat dengan mudah menentukan nilai \(x\), \(y\), dan \(z\). Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah membagi baris pertama dengan elemen di diagonal utama (dalam hal ini, elemen \(1\)). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan \(1\) sebagai elemen di diagonal utama pada baris pertama. Kemudian, kita akan mengurangi baris kedua dengan baris pertama yang telah dibagi. Hal ini dilakukan untuk memastikan bahwa elemen di bawah diagonal utama pada baris pertama menjadi \(0\). Setelah itu, kita akan mengulangi langkah-langkah yang sama untuk baris ketiga. Dalam hal ini, kita akan membagi baris ketiga dengan elemen di diagonal utama pada baris kedua (dalam hal ini, elemen \(4\)). Kemudian, kita akan mengurangi baris ketiga dengan baris kedua yang telah dibagi. Setelah langkah-langkah ini selesai, kita akan mendapatkan matriks dalam bentuk segitiga atas seperti berikut: \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \] Dari matriks ini, kita dapat melihat bahwa persamaan terakhir tidak memiliki solusi yang unik. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan ini memiliki banyak solusi. Untuk menentukan solusi-solusi ini, kita dapat menggunakan parameter bebas. Dalam hal ini, kita dapat memilih \(z\) sebagai parameter bebas. Dengan memilih \(z = t\), kita dapat menentukan \(y\) dan \(x\) menggunakan persamaan-persamaan yang diberikan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan persamaan kedua untuk menentukan \(y\) dan persamaan pertama untuk menentukan \(x\). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan solusi-solusi berikut: a. \( \{(1 ; 2 ; 1)\} \) b. \( \{(2 ; 0,5 ;-1)\} \) c. \( \{(-2 ; 0,5 ; 1)\} \) d. \( \{(3 ; 2 ;-0,5)\} \) e. \( \{(4 ; 2 ;-2)\} \) Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa solusi yang sesuai dengan persamaan yang diberikan adalah solusi \( \{(3 ; 2 ;-0,5)\} \).