Mencari Nilai \( (g \circ f)^{-1}(0) \) dari Fungsi Komposisi
Dalam matematika, fungsi komposisi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai dari \( (g \circ f)^{-1}(0) \), di mana \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah fungsi yang diberikan. Pertama, mari kita tinjau fungsi \( f(x) \) dan \( g(x) \) yang diberikan. Fungsi \( f(x) \) didefinisikan sebagai \( \frac{x-2}{x+2} \), sedangkan fungsi \( g(x) \) didefinisikan sebagai \( x+2 \). Langkah pertama dalam mencari nilai dari \( (g \circ f)^{-1}(0) \) adalah dengan menggabungkan kedua fungsi ini menggunakan operasi fungsi komposisi. Operasi fungsi komposisi dilambangkan dengan simbol "o". Jadi, \( (g \circ f)(x) \) dapat ditulis sebagai \( g(f(x)) \). Selanjutnya, kita perlu mencari invers dari fungsi \( g \circ f \). Invers dari suatu fungsi \( h(x) \) dilambangkan dengan \( h^{-1}(x) \). Jadi, \( (g \circ f)^{-1}(x) \) adalah invers dari \( g \circ f \). Untuk mencari nilai dari \( (g \circ f)^{-1}(0) \), kita perlu mencari nilai dari \( x \) yang memenuhi persamaan \( (g \circ f)^{-1}(x) = 0 \). Dalam hal ini, kita mencari nilai dari \( x \) yang membuat \( (g \circ f)(x) = 0 \). Mari kita substitusikan fungsi \( f(x) \) dan \( g(x) \) ke dalam persamaan \( (g \circ f)(x) = 0 \). Kita memiliki \( g(f(x)) = 0 \). Substitusikan \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \), kita dapatkan \( g(\frac{x-2}{x+2}) = 0 \). Sekarang, kita perlu mencari nilai dari \( x \) yang memenuhi persamaan \( g(\frac{x-2}{x+2}) = 0 \). Dalam hal ini, kita mencari nilai dari \( x \) yang membuat \( \frac{x-2}{x+2} + 2 = 0 \). Simplifikasi persamaan tersebut, kita dapatkan \( \frac{x-2}{x+2} = -2 \). Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan \( x+2 \), sehingga kita memiliki \( x-2 = -2(x+2) \). Lanjutkan dengan menyederhanakan persamaan tersebut, kita dapatkan \( x-2 = -2x-4 \). Gabungkan \( x \) pada satu sisi persamaan dan konstanta pada sisi lainnya, kita dapatkan \( 3x = -2 \). Terakhir, bagi kedua sisi persamaan dengan 3, kita dapatkan \( x = \frac{-2}{3} \). Jadi, nilai dari \( (g \circ f)^{-1}(0) \) adalah \( \frac{-2}{3} \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah C. \( \frac{-2}{3} \).