Menyingkap Rahasia Panjang Kabel: Sebuah Analisis Geometri ##
Dalam dunia matematika, barisan geometri merupakan konsep yang menarik dan memiliki aplikasi luas dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contohnya adalah pemotongan kabel menjadi beberapa bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Bayangkan sebuah kabel yang dipotong menjadi 7 bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Kita tahu bahwa bagian terpendek memiliki panjang 5 cm dan bagian terpanjang 320 cm. Pertanyaannya adalah, berapa panjang kabel tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memahami konsep barisan geometri. Dalam barisan geometri, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Dalam kasus ini, kita perlu mencari rasio barisan geometri tersebut. Karena kita memiliki panjang bagian terpendek dan terpanjang, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n barisan geometri untuk mencari rasio. Rumus tersebut adalah: ``` an = a1 * r^(n-1) ``` Dimana: * an adalah suku ke-n * a1 adalah suku pertama * r adalah rasio * n adalah nomor suku Dalam kasus ini, a1 = 5 cm, an = 320 cm, dan n = 7. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita mendapatkan: ``` 320 = 5 * r^(7-1) ``` Sederhanakan persamaan tersebut: ``` 64 = r^6 ``` Dengan mengambil akar keenam dari kedua sisi, kita mendapatkan: ``` r = 2 ``` Jadi, rasio barisan geometri adalah 2. Sekarang, kita dapat menggunakan rumus jumlah suku barisan geometri untuk mencari panjang total kabel. Rumus tersebut adalah: ``` Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) ``` Dimana: * Sn adalah jumlah n suku pertama * a1 adalah suku pertama * r adalah rasio * n adalah nomor suku Dalam kasus ini, a1 = 5 cm, r = 2, dan n = 7. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita mendapatkan: ``` S7 = 5 * (1 - 2^7) / (1 - 2) ``` Sederhanakan persamaan tersebut: ``` S7 = 5 * (1 - 128) / (-1) ``` ``` S7 = 635 cm ``` Jadi, panjang total kabel adalah 635 cm. Kesimpulannya, dengan menggunakan konsep barisan geometri, kita dapat menghitung panjang total kabel yang dipotong menjadi 7 bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Proses ini menunjukkan bagaimana matematika dapat diterapkan dalam situasi praktis dan membantu kita memahami dunia di sekitar kita.