Membongkar Misteri Limit Tak Hingga: Bukti Cermat dan Teliti ##
Pernyataan yang ingin kita buktikan adalah: $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 + x} + \sqrt{9x^2 - 5x} = \frac{1}{12}$$ Untuk membuktikan pernyataan ini, kita perlu menggunakan beberapa langkah aljabar dan konsep limit. Berikut adalah langkah-langkahnya: 1. Faktorkan keluar faktor dominan: - Pada akar pertama, faktor dominan adalah $x^2$. Kita dapat menulisnya sebagai: $$\sqrt{4x^2 + x} = \sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x})}$$ - Pada akar kedua, faktor dominan juga $x^2$. Kita dapat menulisnya sebagai: $$\sqrt{9x^2 - 5x} = \sqrt{x^2(9 - \frac{5}{x})}$$ 2. Keluarkan faktor $x$ dari akar: - Kita dapat mengeluarkan $x$ dari akar pertama dan kedua: $$\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x})} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$$ $$\sqrt{x^2(9 - \frac{5}{x})} = x\sqrt{9 - \frac{5}{x}}$$ 3. Substitusikan ke dalam limit: - Sekarang, kita dapat substitusikan hasil ini ke dalam limit awal: $$\lim_{x \to \infty} x\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + x\sqrt{9 - \frac{5}{x}}$$ 4. Faktorkan keluar $x$: - Kita dapat memfaktorkan keluar $x$ dari kedua suku: $$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + \sqrt{9 - \frac{5}{x}})$$ 5. Hitung limit: - Ketika $x$ mendekati tak hingga, $\frac{1}{x}$ dan $\frac{5}{x}$ mendekati 0. Oleh karena itu, limitnya menjadi: $$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4 + 0} + \sqrt{9 - 0})$$ $$\lim_{x \to \infty} x(2 + 3)$$ $$\lim_{x \to \infty} 5x$$ 6. Hasil: - Limit dari $5x$ ketika $x$ mendekati tak hingga adalah tak hingga, bukan $\frac{1}{12}$. Kesimpulan: Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan awal salah. Limit dari ekspresi tersebut ketika $x$ mendekati tak hingga adalah tak hingga, bukan $\frac{1}{12}$. Penting untuk dicatat: Kesalahan dalam pernyataan awal mungkin disebabkan oleh kesalahan dalam penulisan atau perhitungan.