Bentuk Rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$
Pendahuluan: Dalam matematika, bentuk rasional dari suatu ekspresi adalah bentuk di mana setiap faktor di bawah akar kuadrat adalah bilangan rasional. Dalam kasus $\sqrt {5}-\sqrt {3}$, kita ingin mencari bentuk rasionalnya. Bagian 1: Menggunakan Teknik Trigonometri Kita dapat menggunakan teknik trigonometri untuk mencari bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$. Dengan menggunakan trigonometri, kita dapat menulis $\sqrt {5}$ sebagai $\sqrt {5} \cos(\theta) + \sqrt {3} \sin(\theta)$, di mana $\theta$ adalah sudut tertentu. Dengan cara yang sama, kita dapat menulis $\sqrt {3}$ sebagai $\sqrt {3} \cos(\theta) - \sqrt {1} \sin(\theta)$. Menggabungkan kedua ekspresi ini, kita mendapatkan: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = (\sqrt {5} \cos(\theta) + \sqrt {3} \sin(\theta)) - (\sqrt {3} \cos(\theta) - \sqrt {1} \sin(\theta))$$ Sekarang, kita dapat menggabungkan faktor $\sqrt {5} \cos(\theta)$ dan $\sqrt {3} \cos(\theta)$ untuk mendapatkan: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = \sqrt {5} \cos(\theta) - \sqrt {3} \cos(\theta) + \sqrt {3} \sin(\theta) - \sqrt {1} \sin(\theta)$$ Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan menggabungkan faktor $\cos(\theta)$ dan $\sin(\theta)$ untuk mendapatkan: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = (\sqrt {5} - \sqrt {3}) \cos(\theta) + (\sqrt {3} - \sqrt {1}) \sin(\theta)$$ Kita dapat melihat bahwa bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$ adalah $(\sqrt {5}-\sqrt {3})$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah pilihan c. Bagian 2: Menggunakan Teknik Algebra Metode lain untuk mencari bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$ adalah dengan menggunakan teknik algebra. Kita dapat mengalikan kedua sisi ekspresi dengan konjugat dari penyebut, yaitu $\sqrt {5} + \sqrt {3}$. Dengan cara ini, kita dapat menghilangkan akar kuadrat dari penyebut: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = \frac{(\sqrt {5}-\sqrt {3})(\sqrt {5} + \sqrt {3})}{(\sqrt {5} + \sqrt {3})}$$ Sekarang, kita dapat menyederhanakan eksp atas dengan mengalikan numerator dan denominator: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = \frac{(\sqrt {5})^2 - (\sqrt {3})^2}{(\sqrt {5} + \sqrt {3})}$$ Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi di atas dengan menggabungkan faktor $\sqrt {5}$ dan $\sqrt {3}$ untuk mendapatkan: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = \frac{5 - 3}{\sqrt {5} + \sqrt {3}}$$ Kita dapat menyederhanakan ekspresi di atas dengan mengalikan numerator dan denominator: $$\sqrt {5}-\sqrt {3} = \frac{2}{\sqrt {5} + \sqrt {3}}$$ Kita dapat melihat bahwa bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$ adalah $\frac{2}{\sqrt {5} + \sqrt {3}}$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah pilihan d. Kesimpulan: Dalam artikel ini, kita telah mengeksplorasi dua metode untuk mencari bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$. Metode pertama menggunakan teknik trigonometri, sementara metode kedua menggunakan teknik algebra. Dengan menggunakan kedua metode ini, kita telah menemukan bahwa bentuk rasional dari $\sqrt {5}-\sqrt {3}$ adalah $(\sqrt {5}-\sqrt {3})$ dan $\frac{2}{\sqrt {5}