Solusi Sistem Persamaan Linear dengan Solusi Tak Hingga Banyak
Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Salah satu pertanyaan yang sering muncul dalam pemecahan SPL adalah apakah SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan nilai \( b \) agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak, serta menuliskan solusi SPL tersebut. Untuk memulai, kita akan menggunakan SPL dengan matriks koefisien sebagai berikut: \[ \left[\begin{array}{ccc} b & 0 & 1 \\ 0 & b+3 & 0 \\ 0 & 1 & b-3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] Pertama-tama, kita perlu menentukan nilai \( b \) agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak. Untuk itu, kita perlu mencari determinan dari matriks koefisien SPL tersebut. Jika determinan tersebut sama dengan nol, maka SPL memiliki solusi tak hingga banyak. Dalam kasus ini, determinan dari matriks koefisien adalah: \[ \begin{align*} \text{det}\left[\begin{array}{ccc} b & 0 & 1 \\ 0 & b+3 & 0 \\ 0 & 1 & b-3 \end{array}\right] &= b(b+3)(b-3) - 0 - 0 \\ &= b^3 - 9b \end{align*} \] Untuk mencari nilai \( b \) agar determinan tersebut sama dengan nol, kita perlu menyelesaikan persamaan \( b^3 - 9b = 0 \). Dengan faktorisasi, kita dapat menulis persamaan tersebut sebagai \( b(b^2 - 9) = 0 \). Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut adalah \( b = 0 \) atau \( b = \pm 3 \). Jadi, untuk nilai \( b = 0 \), SPL memiliki solusi tak hingga banyak. Selanjutnya, kita akan menuliskan solusi SPL tersebut. Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, kita dapat menuliskan solusi SPL sebagai berikut: \[ \begin{align*} x &= -\frac{1}{b}z \\ y &= -\frac{1}{b+3}z \\ z &= z \end{align*} \] Dalam hal ini, \( z \) adalah variabel bebas yang dapat kita pilih nilai apa pun. Dengan memilih nilai \( z = 1 \), kita dapat menuliskan solusi SPL sebagai berikut: \[ \begin{align*} x &= -\frac{1}{b} \\ y &= -\frac{1}{b+3} \\ z &= 1 \end{align*} \] Dengan demikian, kita telah menentukan nilai \( b \) agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak, serta menuliskan solusi SPL tersebut. Dalam kesimpulan, SPL memiliki solusi tak hingga banyak jika \( b = 0 \). Solusi SPL tersebut dapat dituliskan dalam bentuk \( x = -\frac{1}{b} \), \( y = -\frac{1}{b+3} \), dan \( z = 1 \), dengan \( z \) sebagai variabel bebas.