Mencari Jumlah \( x, y \) dan \( z \) yang Memenuhi Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Dalam kasus ini, kita memiliki sistem persamaan linier dengan tiga variabel \( x, y, \) dan \( z \). Tujuan kita adalah mencari nilai-nilai dari \( x, y, \) dan \( z \) yang memenuhi semua persamaan dalam sistem ini. Sistem persamaan linier yang diberikan adalah sebagai berikut: \[ \begin{array}{l} 2x + 3y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 5 \\ 3x + y + 2z = 6 \end{array} \] Untuk mencari solusi dari sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode matriks. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss. Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks augmented. Matriks augmented adalah matriks yang terdiri dari koefisien variabel dan konstanta pada setiap persamaan. Dalam kasus ini, matriks augmented untuk sistem persamaan ini adalah: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 3 & 1 & 2 & | & 6 \\ \end{bmatrix} \] Langkah berikutnya adalah melakukan operasi baris pada matriks augmented untuk menghasilkan matriks segitiga atas. Operasi baris melibatkan menukar baris, mengalikan baris dengan konstanta, dan menambahkan atau mengurangi baris. Setelah melakukan operasi baris, matriks augmented menjadi: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & | & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{7}{2} & | & \frac{7}{2} \\ \end{bmatrix} \] Dalam matriks segitiga atas ini, kita dapat melihat bahwa nilai \( z \) dapat langsung ditentukan sebagai \(\frac{7}{2}\). Langkah terakhir adalah menggantikan nilai \( z \) yang telah kita temukan ke dalam persamaan kedua dan ketiga untuk mencari nilai \( x \) dan \( y \). Dalam persamaan kedua, kita memiliki: \[ x + 2y + 3z = 5 \] Gantikan nilai \( z \) yang telah kita temukan, kita dapatkan: \[ x + 2y + 3(\frac{7}{2}) = 5 \] Sederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \[ x + 2y + \frac{21}{2} = 5 \] Dalam persamaan ketiga, kita memiliki: \[ 3x + y + 2z = 6 \] Gantikan nilai \( z \) yang telah kita temukan, kita dapatkan: \[ 3x + y + 2(\frac{7}{2}) = 6 \] Sederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \[ 3x + y + 7 = 6 \] Dengan menggunakan persamaan ini, kita dapat mencari nilai \( x \) dan \( y \). Setelah menyelesaikan kedua persamaan ini, kita dapat menemukan nilai-nilai dari \( x, y, \) dan \( z \) yang memenuhi sistem persamaan linier ini. Dalam kasus ini, nilai-nilai dari \( x, y, \) dan \( z \) adalah ..... Dengan demikian, kita telah berhasil mencari jumlah \( x, y, \) dan \( z \) yang memenuhi sistem persamaan linier yang diberikan.