Persamaan Lingkaran yang Didilatasikan dengan Faktor -2 terhadap Titik Pusat (0,0)
Dalam matematika, persamaan lingkaran adalah salah satu topik yang sering dibahas. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusatnya. Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, di mana (A,B) adalah koordinat pusat lingkaran dan C adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-3=0$ yang didilatasikan dengan faktor -2 terhadap titik pusat (0,0). Kita perlu menentukan persamaan lingkaran yang sesuai dengan transformasi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan setiap suku dalam persamaan lingkaran dengan faktor -2. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan persamaan lingkaran baru: $-2x^{2}-2y^{2}+4x-12y+6=0$ Namun, kita perlu memastikan bahwa persamaan lingkaran ini memiliki titik pusat yang benar. Untuk menentukan titik pusat, kita perlu mengubah persamaan lingkaran menjadi bentuk standar, yaitu $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, di mana (h,k) adalah koordinat pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, kita perlu menyelesaikan persamaan lingkaran $-2x^{2}-2y^{2}+4x-12y+6=0$ menjadi bentuk standar. Dengan melakukan beberapa langkah aljabar, kita dapat mencapai bentuk standar berikut: $-2(x^{2}-2x)+(-2)(y^{2}-6y)+6=0$ $-2(x^{2}-2x+1-1)+(-2)(y^{2}-6y+9-9)+6=0$ $-2((x-1)^{2}-1)+(-2)((y-3)^{2}-9)+6=0$ $-2(x-1)^{2}+2+(-2)(y-3)^{2}+18+6=0$ $-2(x-1)^{2}+(-2)(y-3)^{2}+26=0$ Dari bentuk standar ini, kita dapat melihat bahwa titik pusat lingkaran adalah (1,3) dan jari-jari lingkaran adalah $\sqrt{\frac{26}{2}}=\sqrt{13}$. Jadi, persamaan lingkaran yang didilatasikan dengan faktor -2 terhadap titik pusat (0,0) adalah $-2(x-1)^{2}+(-2)(y-3)^{2}+26=0$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.