Persamaan Lingkaran yang Didilatasikan dengan Faktor -2 terhadap Titik Pusat (0,0)

4
(270 votes)

Dalam matematika, persamaan lingkaran adalah salah satu topik yang sering dibahas. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusatnya. Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, di mana (A,B) adalah koordinat pusat lingkaran dan C adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-3=0$ yang didilatasikan dengan faktor -2 terhadap titik pusat (0,0). Kita perlu menentukan persamaan lingkaran yang sesuai dengan transformasi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan setiap suku dalam persamaan lingkaran dengan faktor -2. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan persamaan lingkaran baru: $-2x^{2}-2y^{2}+4x-12y+6=0$ Namun, kita perlu memastikan bahwa persamaan lingkaran ini memiliki titik pusat yang benar. Untuk menentukan titik pusat, kita perlu mengubah persamaan lingkaran menjadi bentuk standar, yaitu $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, di mana (h,k) adalah koordinat pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, kita perlu menyelesaikan persamaan lingkaran $-2x^{2}-2y^{2}+4x-12y+6=0$ menjadi bentuk standar. Dengan melakukan beberapa langkah aljabar, kita dapat mencapai bentuk standar berikut: $-2(x^{2}-2x)+(-2)(y^{2}-6y)+6=0$ $-2(x^{2}-2x+1-1)+(-2)(y^{2}-6y+9-9)+6=0$ $-2((x-1)^{2}-1)+(-2)((y-3)^{2}-9)+6=0$ $-2(x-1)^{2}+2+(-2)(y-3)^{2}+18+6=0$ $-2(x-1)^{2}+(-2)(y-3)^{2}+26=0$ Dari bentuk standar ini, kita dapat melihat bahwa titik pusat lingkaran adalah (1,3) dan jari-jari lingkaran adalah $\sqrt{\frac{26}{2}}=\sqrt{13}$. Jadi, persamaan lingkaran yang didilatasikan dengan faktor -2 terhadap titik pusat (0,0) adalah $-2(x-1)^{2}+(-2)(y-3)^{2}+26=0$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.