Menghitung Nilai \( \tan \frac{1}{2} A \) dengan \( \sin A = \frac{3}{8} \)
Dalam masalah ini, kita diberikan informasi bahwa \( \sin A = \frac{3}{8} \) dan \( A \) berada di kuadran I. Tugas kita adalah untuk menghitung nilai \( \tan \frac{1}{2} A \). Untuk memulai, kita perlu menggunakan rumus trigonometri yang terkait dengan \( \tan \frac{1}{2} A \). Rumus ini adalah: \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{{\sin A}}{{1 + \cos A}} \] Namun, sebelum kita dapat menghitung nilai \( \tan \frac{1}{2} A \), kita perlu mencari nilai \( \cos A \). Untungnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang terkait dengan \( \sin A \) dan \( \cos A \) untuk mencarinya. Identitas trigonometri yang kita gunakan adalah: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] Dalam kasus ini, kita sudah diberikan nilai \( \sin A = \frac{3}{8} \). Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat mencari nilai \( \cos A \) sebagai berikut: \[ \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \] \[ \frac{9}{64} + \cos^2 A = 1 \] \[ \cos^2 A = 1 - \frac{9}{64} \] \[ \cos^2 A = \frac{55}{64} \] \[ \cos A = \pm \frac{\sqrt{55}}{8} \] Namun, karena \( A \) berada di kuadran I, kita tahu bahwa \( \cos A \) harus positif. Oleh karena itu, kita dapat mengambil nilai positif untuk \( \cos A \): \[ \cos A = \frac{\sqrt{55}}{8} \] Sekarang kita memiliki semua informasi yang kita butuhkan untuk menghitung nilai \( \tan \frac{1}{2} A \). Kita dapat menggunakan rumus yang diberikan sebelumnya: \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{{\sin A}}{{1 + \cos A}} \] \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{{\frac{3}{8}}}{{1 + \frac{\sqrt{55}}{8}}} \] \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{{3}}{{8 + \sqrt{55}}} \] Jadi, jawaban yang benar adalah (b.) \( \frac{\sqrt{55}-3}{56} \).