Pemahaman dan Penerapan Invers Fungsi dalam Matematik
Dalam matematika, fungsi invers adalah operasi yang membalikkan efek dari fungsi asli. Dalam artikel ini, kita akan membahas dan menerapkan konsep invers fungsi pada tiga fungsi yang diberikan: \( f(x)=3-x \), \( g(x)=3x+1 \), dan \( h(x)=2x-5 \). a. Mencari Invers Fungsi \( f(x), g(x), \) dan \( h(x) \) Untuk mencari invers fungsi, kita perlu menukar \( x \) dan \( y \) dalam persamaan fungsi dan mencari nilai \( y \) yang sesuai. 1. Invers Fungsi \( f(x) \) Diberikan \( f(x)=3-x \), kita menukar \( x \) dan \( y \) sehingga kita memiliki \( x=3-y \). Selanjutnya, kita mencari nilai \( y \) dengan memecahkan persamaan tersebut. \( x=3-y \) \( y=3-x \) Jadi, invers fungsi \( f(x) \) adalah \( f^{-1}(x)=3-x \). 2. Invers Fungsi \( g(x) \) Diberikan \( g(x)=3x+1 \), kita menukar \( x \) dan \( y \) sehingga kita memiliki \( x=3y+1 \). Selanjutnya, kita mencari nilai \( y \) dengan memecahkan persamaan tersebut. \( x=3y+1 \) \( y=\frac{x-1}{3} \) Jadi, invers fungsi \( g(x) \) adalah \( g^{-1}(x)=\frac{x-1}{3} \). 3. Invers Fungsi \( h(x) \) Diberikan \( h(x)=2x-5 \), kita menukar \( x \) dan \( y \) sehingga kita memiliki \( x=2y-5 \). Selanjutnya, kita mencari nilai \( y \) dengan memecahkan persamaan tersebut. \( x=2y-5 \) \( y=\frac{x+5}{2} \) Jadi, invers fungsi \( h(x) \) adalah \( h^{-1}(x)=\frac{x+5}{2} \). b. Mencari Invers Fungsi Komposisi \( (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \) Untuk mencari invers fungsi komposisi, kita perlu menggabungkan fungsi-fungsi yang diberikan dan mencari inversnya. Dalam kasus ini, kita akan mencari invers fungsi komposisi \( (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \). \( (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \) \( (f \circ g \circ h)(x) = f(g(2x-5)) \) \( (f \circ g \circ h)(x) = f(3(2x-5)+1) \) \( (f \circ g \circ h)(x) = f(6x-14) \) \( (f \circ g \circ h)(x) = 3-(6x-14) \) \( (f \circ g \circ h)(x) = 17-6x \) Untuk mencari invers fungsi komposisi, kita menukar \( x \) dan \( y \) sehingga kita memiliki \( x=17-6y \). Selanjutnya, kita mencari nilai \( y \) dengan memecahkan persamaan tersebut. \( x=17-6y \) \( y=\frac{17-x}{6} \) Jadi, invers fungsi komposisi \( (f \circ g \circ h)^{-1}(x) \) adalah \( (f \circ g \circ h)^{-1}(x)=\frac{17-x}{6} \). c. Mencari Invers Fungsi Komposisi \( (g \circ f \circ h)^{-1}(x) \) Untuk mencari invers fungsi komposisi, kita perlu menggabungkan fungsi-fungsi yang diberikan dan mencari inversnya. Dalam kasus ini, kita akan mencari invers fungsi komposisi \( (g \circ f \circ h)^{-1}(x) \). \( (g \circ f \circ h)(x) = g(f(h(x))) \) \( (g \circ f \circ h)(x) = g(f(2x-5)) \) \( (g \circ f \circ h)(x) = g(3-(2x-5)) \) \( (g \circ f \circ h)(x) = g(8-2x) \) \( (g \circ f \circ h)(x) = 3(8-2x)+1 \) \( (g \circ f \circ h)(x) = 25-6x \) Untuk mencari invers fungsi komposisi, kita menukar \( x \) dan \( y \) sehingga kita memiliki \( x=25-6y \). Selanjutnya, kita mencari nilai \( y \) dengan memecahkan persamaan tersebut. \( x=25-6y \) \( y=\frac{25-x}{6} \) Jadi, invers fungsi komposisi \( (g \circ f \circ h)^{-1}(x) \) adalah \( (g \circ f \circ h)^{-1}(x)=\frac{25-x}{6} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas dan menerapkan konsep invers fungsi pada tiga fungsi yang diberikan. Dengan memahami konsep ini, kita dapat dengan mudah mencari invers fungsi dan invers fungsi komposisi.