Menentukan Perbandingan $x:y:z$ dari Sistem Pertidaksamaan
Sistem pertidaksamaan yang diberikan adalah sebagai berikut: $\begin{matrix} 3x-y+2z=15\\ 2x+y+z=13\\ 3x+y+2z=25\end{matrix}$ Untuk menentukan perbandingan $x:y:z$, kita perlu mencari nilai $x$, $y$, dan $z$ terlebih dahulu. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini. Metode eliminasi melibatkan menghilangkan salah satu variabel dengan menggabungkan dua persamaan. Misalnya, kita dapat menghilangkan variabel $y$ dengan menggabungkan persamaan pertama dan kedua: $\begin{matrix} 3x-y+2z=15\\ 2x+y+z=13\end{matrix}$ Dengan menjumlahkan kedua persamaan ini, kita dapat menghilangkan variabel $y$: $5x+3z=28$ Selanjutnya, kita dapat menggabungkan persamaan pertama dan ketiga untuk menghilangkan variabel $y$: $\begin{matrix} 3x-y+2z=15\\ 3x+y+2z=25\end{matrix}$ Dengan menjumlahkan kedua persamaan ini, kita dapat menghilangkan variabel $y$: $6x+4z=40$ Sekarang kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel. Kita dapat memecahkan sistem ini dengan metode substitusi atau eliminasi lagi. Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode eliminasi. Kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3 untuk membuat koefisien variabel $x$ sama: $\begin{matrix} 6x-2y+4z=30\\ 6x+3y+3z=39\end{matrix}$ Dengan mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita dapat menghilangkan variabel $x$: $-5y+z=-9$ Sekarang kita memiliki persamaan dengan dua variabel. Kita dapat memecahkan persamaan ini untuk mencari nilai $y$ dan $z$. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan persamaan ini dengan 5 untuk membuat koefisien variabel $y$ sama dengan koefisien variabel $z$: $-25y+5z=-45$ Dengan menjumlahkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya, kita dapat menghilangkan variabel $y$: $6z=-54$ Dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan 6, kita dapat mencari nilai $z$: $z=-9$ Sekarang kita dapat menggantikan nilai $z$ ke dalam salah satu persamaan untuk mencari nilai $y$. Misalnya, kita dapat menggunakan persamaan $-5y+z=-9$: $-5y-9=-9$ Dengan menjumlahkan 9 ke kedua sisi persamaan ini, kita dapat mencari nilai $y$: $-5y=0$ Dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan -5, kita dapat mencari nilai $y$: $y=0$ Sekarang kita dapat menggantikan nilai $y$ dan $z$ ke dalam salah satu persamaan untuk mencari nilai $x$. Misalnya, kita dapat menggunakan persamaan $3x-y+2z=15$: $3x-0+2(-9)=15$ Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencari nilai $x$: $3x-18=15$ Dengan menambahkan 18 ke kedua sisi persamaan ini, kita dapat mencari nilai $x$: $3x=33$ Dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan 3, kita dapat mencari nilai $x$: $x=11$ Jadi, kita telah menemukan nilai $x=11$, $y=0$, dan $z=-9$. Untuk menentukan perbandingan $x:y:z$, kita dapat membagi setiap nilai dengan faktor terkecil dari ketiga nilai tersebut. Dalam hal ini, faktor terkecil adalah 11. Jadi, perbandingan $x:y:z$ adalah