Menentukan \( y^{1} \) pada titik \( (0,1) \) dari persamaan \( 4 x^{3}-3 y \cos x+5 y^{2}=2 \)
Dalam matematika, terdapat banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Salah satu metode yang umum digunakan adalah metode turunan. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode turunan untuk menentukan \( y^{1} \) pada titik \( (0,1) \) dari persamaan \( 4 x^{3}-3 y \cos x+5 y^{2}=2 \). Pertama-tama, kita perlu mengingat aturan dasar turunan. Aturan dasar turunan menyatakan bahwa turunan dari suatu fungsi adalah turunan dari setiap suku dalam fungsi tersebut. Dalam kasus ini, kita memiliki tiga suku dalam persamaan kita: \( 4 x^{3} \), \( -3 y \cos x \), dan \( 5 y^{2} \). Kita akan menghitung turunan dari masing-masing suku ini secara terpisah. Pertama, kita akan menghitung turunan dari suku \( 4 x^{3} \). Aturan dasar turunan menyatakan bahwa turunan dari \( x^{n} \) adalah \( n x^{n-1} \). Dalam kasus ini, \( n = 3 \), sehingga turunan dari \( 4 x^{3} \) adalah \( 12 x^{2} \). Selanjutnya, kita akan menghitung turunan dari suku \( -3 y \cos x \). Aturan dasar turunan menyatakan bahwa turunan dari \( \cos x \) adalah \( -\sin x \). Dalam kasus ini, kita memiliki dua variabel, y dan x. Namun, kita hanya tertarik pada turunan terhadap y, sehingga kita dapat menganggap x sebagai konstanta. Dengan demikian, turunan dari \( -3 y \cos x \) terhadap y adalah \( -3 \cos x \). Terakhir, kita akan menghitung turunan dari suku \( 5 y^{2} \). Aturan dasar turunan menyatakan bahwa turunan dari \( y^{n} \) adalah \( n y^{n-1} \). Dalam kasus ini, \( n = 2 \), sehingga turunan dari \( 5 y^{2} \) adalah \( 10 y \). Sekarang kita memiliki turunan dari setiap suku dalam persamaan kita: \( 12 x^{2} \), \( -3 \cos x \), dan \( 10 y \). Kita dapat menggabungkan turunan-turunan ini untuk mendapatkan turunan dari persamaan keseluruhan. Persamaan kita adalah \( 4 x^{3}-3 y \cos x+5 y^{2}=2 \). Kita akan menghitung turunan dari kedua sisi persamaan ini terhadap x. Turunan dari \( 4 x^{3} \) terhadap x adalah \( 12 x^{2} \). Turunan dari \( -3 y \cos x \) terhadap x adalah \( 3 y \sin x \). Turunan dari \( 5 y^{2} \) terhadap x adalah \( 0 \), karena y tidak tergantung pada x. Dengan demikian, turunan dari persamaan \( 4 x^{3}-3 y \cos x+5 y^{2}=2 \) terhadap x adalah \( 12 x^{2}+3 y \sin x \). Kita dapat menggunakan titik \( (0,1) \) untuk menentukan nilai dari \( y^{1} \) pada titik tersebut. Pada titik \( (0,1) \), kita memiliki \( x = 0 \) dan \( y = 1 \). Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam turunan kita, kita dapat menghitung nilai dari \( y^{1} \) pada titik \( (0,1) \). \( y^{1} = 12 (0)^{2}+3 (1) \sin (0) \) \( y^{1} = 0+3 (0) \) \( y^{1} = 0 \) Jadi, \( y^{1} \) pada titik \( (0,1) \) dari persamaan \( 4 x^{3}-3 y \cos x+5 y^{2}=2 \) adalah 0.