Menyelesaikan Persamaan Diferensial dengan Pendekatan Analitis
Dalam matematika, persamaan diferensial adalah alat yang sangat penting dalam memodelkan berbagai fenomena alam dan sosial. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial dengan pendekatan analitis. Khususnya, kita akan melihat bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial dengan fungsi $f(x)=sinax+cosbx$. Pertama-tama, kita diberikan informasi bahwa $f'(0)=b$. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menghitung turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Dalam hal ini, turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)=acosax-bsinbx$. Jadi, untuk $x=0$, kita memiliki $f'(0)=acos0-b\sin0=a-b$. Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa $f'(0)=b$, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa $a-b=b$. Dengan menggabungkan persamaan ini, kita dapat menyelesaikan untuk $a$ dan $b$. Selanjutnya, kita diberikan informasi bahwa $f'(\frac {\pi }{2a})=-1$. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menghitung turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Dalam hal ini, turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)=acosax-bsinbx$. Jadi, untuk $x=\frac {\pi }{2a}$, kita memiliki $f'(\frac {\pi }{2a})=a\cos(\frac {\pi }{2})-b\sin(\frac {\pi }{2})=-a$. Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa $f'(\frac {\pi }{2a})=-1$, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa $-a=-1$. Dengan menggabungkan persamaan ini, kita dapat menyelesaikan untuk $a$. Sekarang, kita memiliki dua persamaan: $a-b=b$ dan $-a=-1$. Dengan menggabungkan persamaan ini, kita dapat menyelesaikan untuk $a$ dan $b$. Pertama, dari persamaan $-a=-1$, kita dapat menyimpulkan bahwa $a=1$. Kemudian, dengan menggantikan nilai $a=1$ ke persamaan $a-b=b$, kita dapat menyelesaikan untuk $b$. Dalam hal ini, kita memiliki $1-b=b$, yang berarti $2b=1$. Dengan membagi kedua sisi dengan 2, kita mendapatkan $b=\frac{1}{2}$. Jadi, setelah menyelesaikan persamaan diferensial dengan pendekatan analitis, kita dapat menyimpulkan bahwa $a=1$ dan $b=\frac{1}{2}$. Untuk mencari nilai dari $a+b$, kita cukup menjumlahkan kedua nilai ini. Dalam hal ini, $a+b=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Dengan demikian, jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah (E) $\frac{3}{2}$.