Transformasi Geometri: Mempelajari Dilatasi Garis dalam Ruang Dua Dimensi
Transformasi geometri merupakan konsep fundamental dalam matematika yang mempelajari perubahan posisi dan bentuk objek geometri. Salah satu jenis transformasi geometri yang menarik adalah dilatasi, yang melibatkan perubahan ukuran objek tanpa mengubah bentuknya. Dalam ruang dua dimensi, dilatasi garis dapat divisualisasikan sebagai peregangan atau penyusutan garis terhadap titik tertentu yang disebut pusat dilatasi. Artikel ini akan membahas konsep dilatasi garis dalam ruang dua dimensi, menjelaskan cara menentukan persamaan garis hasil dilatasi, dan memberikan contoh penerapannya.
Memahami Dilatasi Garis dalam Ruang Dua Dimensi
Dilatasi garis dalam ruang dua dimensi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran garis tanpa mengubah bentuknya. Proses ini melibatkan peregangan atau penyusutan garis terhadap titik tertentu yang disebut pusat dilatasi. Faktor skala dilatasi, yang dilambangkan dengan *k*, menentukan seberapa besar garis diregangkan atau disusutkan. Jika *k* lebih besar dari 1, garis akan diregangkan, sedangkan jika *k* berada di antara 0 dan 1, garis akan disusutkan. Jika *k* sama dengan 1, garis akan tetap sama.
Menentukan Persamaan Garis Hasil Dilatasi
Untuk menentukan persamaan garis hasil dilatasi, kita perlu mengetahui persamaan garis awal, pusat dilatasi, dan faktor skala dilatasi. Misalkan persamaan garis awal adalah *y = mx + c*, pusat dilatasi adalah titik (a, b), dan faktor skala dilatasi adalah *k*. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis hasil dilatasi adalah sebagai berikut:
1. Tentukan titik tengah garis awal. Titik tengah garis awal dapat dihitung dengan rumus: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2), di mana (x1, y1) dan (x2, y2) adalah titik-titik ujung garis awal.
2. Tentukan vektor arah garis awal. Vektor arah garis awal dapat dihitung dengan rumus: (x2 - x1, y2 - y1), di mana (x1, y1) dan (x2, y2) adalah titik-titik ujung garis awal.
3. Tentukan vektor arah garis hasil dilatasi. Vektor arah garis hasil dilatasi sama dengan vektor arah garis awal dikalikan dengan faktor skala dilatasi, yaitu *k*(x2 - x1, y2 - y1).
4. Tentukan titik tengah garis hasil dilatasi. Titik tengah garis hasil dilatasi dapat dihitung dengan rumus: (a + k((x1 + x2)/2 - a), b + k((y1 + y2)/2 - b)).
5. Tentukan persamaan garis hasil dilatasi. Persamaan garis hasil dilatasi dapat ditentukan dengan menggunakan titik tengah dan vektor arah yang telah dihitung.
Contoh Penerapan Dilatasi Garis
Misalkan kita ingin mentransformasikan garis *y = 2x + 1* dengan pusat dilatasi (1, 2) dan faktor skala dilatasi 3. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis hasil dilatasi adalah sebagai berikut:
1. Tentukan titik tengah garis awal. Titik tengah garis awal dapat dihitung dengan rumus: ((0 + 1)/2, (1 + 3)/2) = (1/2, 2).
2. Tentukan vektor arah garis awal. Vektor arah garis awal dapat dihitung dengan rumus: (1 - 0, 3 - 1) = (1, 2).
3. Tentukan vektor arah garis hasil dilatasi. Vektor arah garis hasil dilatasi sama dengan vektor arah garis awal dikalikan dengan faktor skala dilatasi, yaitu 3(1, 2) = (3, 6).
4. Tentukan titik tengah garis hasil dilatasi. Titik tengah garis hasil dilatasi dapat dihitung dengan rumus: (1 + 3((1/2) - 1), 2 + 3(2 - 2)) = (-1/2, 2).
5. Tentukan persamaan garis hasil dilatasi. Persamaan garis hasil dilatasi dapat ditentukan dengan menggunakan titik tengah dan vektor arah yang telah dihitung. Persamaan garis hasil dilatasi adalah *y = 2x + 3*.
Kesimpulan
Dilatasi garis dalam ruang dua dimensi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran garis tanpa mengubah bentuknya. Proses ini melibatkan peregangan atau penyusutan garis terhadap titik tertentu yang disebut pusat dilatasi. Faktor skala dilatasi menentukan seberapa besar garis diregangkan atau disusutkan. Untuk menentukan persamaan garis hasil dilatasi, kita perlu mengetahui persamaan garis awal, pusat dilatasi, dan faktor skala dilatasi. Konsep dilatasi garis memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti geometri, seni, dan desain.