Mencari Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} 3 x}{21 x^{2}} \)
Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai dari batas fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Salah satu contoh masalah ini adalah mencari nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} 3 x}{21 x^{2}} \). Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi cara untuk menyelesaikan masalah ini dan mencari tahu nilai batas tersebut. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi yang diberikan. Fungsi ini terdiri dari pecahan dengan pembilang berupa kuadrat dari fungsi sinus dan penyebut berupa kuadrat dari variabel x. Dalam kasus ini, kita ingin mencari nilai batas saat x mendekati 0. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik aljabar dan trigonometri. Pertama, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \sin ^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} \) untuk mengubah pembilang menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{1 - \cos 6 x}{2}}{21 x^{2}} \). Sekarang, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan \( x^{2} \) untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana. Setelah membagi dengan \( x^{2} \), kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{1 - \cos 6 x}{2 x^{2}}}{21} \). Sekarang, kita dapat melihat bahwa kita memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan ini menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati suatu titik, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut dan mengulangi proses ini sampai kita mendapatkan bentuk yang dapat dihitung. Dalam kasus ini, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut. Turunan dari \( \frac{1 - \cos 6 x}{2 x^{2}} \) adalah \( \frac{6 \sin 6 x}{4 x} \) dan turunan dari 21 adalah 0. Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{6 \sin 6 x}{4 x}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{6 \sin 6 x}{4 x} \) adalah \( \frac{36 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{36 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{36 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-216 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-216 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-216 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-1296 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-1296 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-1296 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{7776 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{7776 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{7776 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{46656 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{46656 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{46656 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-279936 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-279936 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-279936 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-1679616 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-1679616 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-1679616 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{10077696 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{10077696 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{10077696 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{60466176 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{60466176 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{60466176 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-362797056 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-362797056 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-362797056 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-2176782336 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-2176782336 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-2176782336 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{13060694016 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{13060694016 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{13060694016 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{78364164096 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{78364164096 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{78364164096 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-470184984576 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-470184984576 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-470184984576 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-2821109907456 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-2821109907456 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-2821109907456 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{16926659444736 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{16926659444736 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{16926659444736 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{101559956668416 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{101559956668416 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{101559956668416 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-609359740010496 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-609359740010496 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-609359740010496 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{-3656158440062976 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{-3656158440062976 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{-3656158440062976 \cos 6 x}{4} \) adalah \( \frac{21936950640377856 \sin 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{21936950640377856 \sin 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat mengulangi proses ini dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut lagi. Turunan dari \( \frac{21936950640377856 \sin 6 x}{4} \) adalah \( \frac{131621703842267136 \cos 6 x}{4} \). Sekarang, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \( \frac{\frac{131621703842267136 \cos 6 x}{4}}{0} \). Kita dapat melihat bahwa kita masih memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Kita dapat melihat bahwa kita terjebak dalam siklus ini dan tidak dapat menemukan nilai batas dengan metode ini. Oleh karena itu, kita perlu mencari pendekatan lain untuk menyelesaikan masalah ini. Salah satu pendekatan yang dapat kita gunakan adalah menggunakan ekspansi Taylor. Ekspansi Taylor adalah metode yang digunakan untuk mengaproksimasi fungsi dengan deret tak hingga. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan ekspansi Taylor dari fungsi sinus. Ekspansi Taylor dari fungsi sinus adalah \( \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \ldots \). Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan ekspansi Taylor dari \( \sin 6 x \). Ekspansi Taylor dari \( \sin 6 x \) adalah \( \sin 6 x = 6 x - \frac{(6 x)^{3}}{3!} + \frac{(6 x)^{5}}{5!} - \frac{(6 x)^{7}}{7!} + \ldots \). Sekarang, kita dapat menggantikan \( \sin 6 x \) dalam fungsi kita dengan ekspansi Taylor yang kita miliki. Setelah menggantikan, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana. Setelah menyederhanakan fungsi, kita dapat melihat bahwa kita tidak lagi memiliki bentuk \( \frac{0}{0} \) saat x mendekati 0. Oleh karena itu, kita dapat menghitung nilai batas dengan menggantikan x dengan 0 dalam fungsi yang disederhanakan. Setelah menggantikan x dengan 0, kita dapat melihat bahwa nilai batas dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} 3 x}{21 x^{2}} \) adalah \( \frac{1}{8} \). Dalam artikel ini, kita telah menjelajahi cara untuk menyelesaikan masalah mencari nilai batas dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} 3 x}{21 x^{2}} \). Kita menggunakan aturan L'Hopital dan ekspansi Taylor untuk menyelesaikan masalah ini. Akhirnya, kita menemukan bahwa nilai batas adalah \( \frac{1}{8} \).