Menentukan Bayangan Titik P, Q, dan R dengan Sudut 135 Derajat
Dalam matematika, bayangan titik adalah hasil dari memutar titik tertentu sejauh sudut tertentu terhadap suatu titik pusat. Dalam kasus ini, kita akan menentukan bayangan titik P(3,2), Q(2,5), dan R(-5,4) dengan sudut 135 derajat. Untuk menentukan bayangan titik-titik ini, kita perlu menggunakan rumus transformasi rotasi. Rumus ini diberikan oleh: \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \] di mana \(\theta\) adalah sudut rotasi, dan \((x, y)\) adalah koordinat titik asli. Dalam kasus ini, sudut rotasi adalah 135 derajat. Mari kita terapkan rumus ini pada titik P(3,2): \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(135^{\circ}) & -\sin(135^{\circ}) \\ \sin(135^{\circ}) & \cos(135^{\circ}) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \] Menghitung nilai trigonometri dari sudut 135 derajat, kita mendapatkan: \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \] Melakukan perkalian matriks, kita mendapatkan: \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{5\sqrt{2}}{2} \\ \end{bmatrix} \] Jadi, bayangan titik P(3,2) dengan sudut 135 derajat adalah \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu x dan \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu y. Kita dapat melakukan perhitungan yang sama untuk titik Q(2,5) dan R(-5,4). Setelah menghitung, kita mendapatkan: Bayangan titik Q(2,5) dengan sudut 135 derajat adalah \(-\frac{7\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu x dan \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu y. Bayangan titik R(-5,4) dengan sudut 135 derajat adalah \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu x dan \(\frac{7\sqrt{2}}{2}\) pada sumbu y. Dengan demikian, kita telah berhasil menentukan bayangan titik P, Q, dan R dengan sudut 135 derajat.