Menyelesaikan Masalah Logaritm
Dalam artikel ini, kita akan menyelesaikan masalah logaritma yang melibatkan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Masalah ini adalah: \[ {}^{3}\log 54 + {}^{3}\log 2 - {}^{3}\log 4 - {}^{3}\log 9 \] Langkah 1: Memahami Persyaratan Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami aturan dasar logaritma. Logaritma adalah cara lain untuk mengekspresikan eksponen dan memiliki sifat-sifat khusus yang memudahkan perhitungan. Langkah 2: Menentukan Sudut Pandang Kita akan memanfaatkan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan dan menyelesaikan masalah ini. Sifat-sifat yang relevan meliputi: 1. \(\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c\) 2. \(\log_a (b/c) = \log_a b - \log_a c\) 3. \(\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b\) Langkah 3: Pilih Bahan yang Sesuai Kita akan menerapkan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan ekspresi yang diberikan. Langkah 4: Tinjau dan Sesuaikan Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah. \[ {}^{3}\log 54 + {}^{3}\log 2 - {}^{3}\log 4 - {}^{3}\log 9 \] Pertama, kita lihat apakah kita bisa menyederhanakan setiap logaritma: - \(54 = 2 \cdot 3^3\) - \(2 = 2\) - \(4 = 2^2\) - \(9 = 3^2\) Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi asli: \[ {}^{3}\log (2 \cdot 3^3) + {}^{3}\log 2 - {}^{3}\log (2^2) - {}^{3}\log (3^2) \] Kita bisa menerapkan sifat-sifat logaritma: \[ {}^{3}\log (2 \cdot 3^3) = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 3^3 = {}^{3}\log 2 + 3 \cdot {}^{3}\log 3 \] \[ {}^{3}\log (2^2) = 2 \cdot {}^{3}\log 2 \] \[ {}^{3}\log (3^2) = 2 \cdot {}^{3}\log 3 \] Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi: \[ {}^{3}\log 2 + 3 \cdot {}^{3}\log 3 + {}^{3}\log 2 - 2 \cdot {}^{3}\log 2 - 2 \cdot {}^{3}\log 3 \] Kita gabungkan istilah-istilah yang serupa: \[ {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 2 - 2 \cdot {}^{3}\log 2 + 3 \cdot {}^{3}\log 3 - 2 \cdot {}^{3}\log 3 \] \[ = 2 \cdot {}^{3}\log 2 - 2 \cdot {}^{3}\log 3 \] \[ = 2 \cdot ({}^{3}\log 2 - {}^{3}\log 3) \] Kita tahu bahwa: \[ {}^{3}\log 2 - {}^{3}\log 3 = {}^{3}\log \left(\frac{2}{3}\right) \] Jadi, ekspresi kita menjadi: \[ 2 \cdot {}^{3}\log \left(\frac{2}{3}\right) \] Langkah 5: Mengelola Jumlah Kata Keluaran Kita telah menyederhanakan ekspresi menjadi bentuk yang lebih sederhana. Langkah 6: Tinjau dan Sesuaikan Kita telah menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Hasil akhirnya adalah: \[ 2 \cdot {}^{3}\log \left(\frac{2}{3}\right) \] Kesimpulan: D