Persamaan Matematika: Membuktikan $\sum _{k=2}^{8}(k+2)=\sum _{k=4}^{10}k$
Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk membuktikan persamaan-persamaan yang kompleks. Salah satu persamaan yang menarik untuk dibuktikan adalah $\sum _{k=2}^{8}(k+2)=\sum _{k=4}^{10}k$. Dalam artikel ini, kita akan membahas langkah-langkah untuk membuktikan persamaan ini dengan menggunakan metode matematika yang tepat. Pertama-tama, mari kita perjelas arti dari kedua sisi persamaan ini. Pada sisi kiri persamaan, kita memiliki $\sum _{k=2}^{8}(k+2)$. Ini berarti kita harus menjumlahkan semua nilai $(k+2)$ dari $k=2$ hingga $k=8$. Sementara itu, pada sisi kanan persamaan, kita memiliki $\sum _{k=4}^{10}k$, yang berarti kita harus menjumlahkan semua nilai $k$ dari $k=4$ hingga $k=10$. Untuk membuktikan bahwa kedua sisi persamaan ini sama, kita dapat menggunakan metode induksi matematika. Pertama, kita akan membuktikan bahwa persamaan ini benar untuk $k=2$. Jika kita menggantikan nilai $k=2$ ke kedua sisi persamaan, kita akan mendapatkan $4+2=6$ pada sisi kiri dan $4$ pada sisi kanan. Karena kedua nilai ini sama, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan ini benar untuk $k=2$. Selanjutnya, kita akan menggunakan asumsi bahwa persamaan ini benar untuk $k=n$ dan membuktikan bahwa persamaan ini juga benar untuk $k=n+1$. Jika kita menggantikan nilai $k=n+1$ ke kedua sisi persamaan, kita akan mendapatkan $\sum _{k=2}^{n}(k+2)+(n+1+2)$ pada sisi kiri dan $\sum _{k=4}^{n+1}k$ pada sisi kanan. Dengan menggunakan asumsi bahwa persamaan ini benar untuk $k=n$, kita dapat menyederhanakan sisi kiri persamaan menjadi $\sum _{k=2}^{n}(k+2)+(n+1+2)=\sum _{k=2}^{n}(k+2)+(n+3)$. Selanjutnya, kita dapat membagi persamaan ini menjadi dua bagian: $\sum _{k=2}^{n}(k+2)$ dan $(n+3)$. Pertama, mari kita fokus pada $\sum _{k=2}^{n}(k+2)$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $\sum _{k=2}^{n}k+\sum _{k=2}^{n}2$. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan deret aritmatika untuk menjumlahkan semua nilai $k$ dari $k=2$ hingga $k=n$. Rumus ini adalah $\sum _{k=2}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}-(1+2)$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan $\sum _{k=2}^{n}2$ menjadi $2(n-1)$. Jadi, $\sum _{k=2}^{n}(k+2)=\frac{n(n+1)}{2}-(1+2)+2(n-1)$. Selanjutnya, mari kita fokus pada $(n+3)$. Karena kita ingin membuktikan bahwa persamaan ini benar untuk $k=n+1$, kita dapat menggantikan $n$ dengan $n+1$ dalam persamaan ini. Jadi, $(n+3)=(n+1)+2$. Sekarang, mari kita gabungkan kedua bagian persamaan ini. Kita akan mendapatkan $\sum _{k=2}^{n}(k+2)+(n+3)=\frac{n(n+1)}{2}-(1+2)+2(n-1)+(n+1)+2$. Dalam hal ini, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $\frac{n(n+1)}{2}+n+1$. Sementara itu, pada sisi kanan persamaan, kita memiliki $\sum _{k=4}^{n+1}k$. Kita dapat menggunakan rumus penjumlahan deret aritmatika untuk menjumlahkan semua nilai $k$ dari $k=4$ hingga $k=n+1$. Rumus ini adalah $\sum _{k=4}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+4)}{2}-(1+2+3)$. Jadi, $\sum _{k=4}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+4)}{2}-6$. Dengan membandingkan kedua sisi persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa $\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+4)}{2}-6$. Jika kita menyederhanakan persamaan ini, kita akan mendapatkan $n^2+3n+2=n^2+5n-2$. Kita dapat membatalkan $n^2$ pada kedua sisi persamaan ini dan menyederhanakan persamaan ini menjadi $3n+2=5n-2$. Jika kita memindahkan $5n$ ke sisi kiri dan $2$ ke sisi kanan, kita akan mendapatkan $3n-5n=-2-2$. Dalam hal ini, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $-2n=-4$. Jika kita membagi kedua sisi persamaan ini dengan $-2$, kita akan mendapatkan $n=2$. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa persamaan $\sum _{k=2}^{8}(k+2)=\sum _{k=4}^{10}k$ benar untuk semua nilai $k=2$ hingga $k=8$.