Perbedaan Diferensiasi Parsial dalam Fungsi Satu dan Dua Variabel

4
(282 votes)

Dalam bab ini, kita akan membahas tentang diferensiasi parsial. Ketika kita hanya berurusan dengan fungsi satu variabel, misalnya $y=f(x)$, kita menulis turunan diferensial sebagai $\frac {dy}{dx}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\frac {f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}$. Namun, jika kita mempertimbangkan fungsi dua atau lebih variabel, nilai dari fungsi ini akan bervariasi dengan perubahan pada salah satu atau semua variabel. Misalnya, nilai koordinat z pada permukaan bola dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, di mana a adalah jari-jari bola, akan bergantung pada x dan y sehingga z adalah fungsi dari x dan y yang ditulis sebagai $z=z(x,y)$. Perubahan diferensial z yang terjadi akibat perubahan x dan y dapat ditulis sebagai $dz=(\frac {\partial z}{\partial x})_{y}dx+(\frac {\partial z}{\partial y})_{x}dy$, di mana $(\partial z/\partial x)$ berarti melakukan diferensiasi z terhadap x saat y tetap konstan, sehingga $(\frac {\partial z}{\partial x})_{y}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}\frac {z(x+\delta x,y)-z(x,y)}{\delta x}$. Perubahan total dz ditemukan dengan menambahkan penambahan terpisah akibat perubahan masing-masing variabel satu per satu saat yang lainnya tetap konstan. Pada Gambar 5.1, kita dapat melihat bahwa dengan menjaga y tetap konstan mengisolasi sebuah bidang yang memotong permukaan bola dalam sebuah garis melengkung, dan kontribusi inkremental terhadap dz sepanjang garis ini sama seperti z adalah fungsi dari x saja. Sekarang dengan menjaga x tetap konstan, kita memutar bidang sebesar $90^{\circ }$ dan mengulangi proses dengan y sebagai variabel sehingga penambahan total dz adalah jumlah dari kedua proses ini. Jika hanya ada dua variabel independen yang terlibat, subskrip yang menunjukkan variabel yang tetap konstan dihilangkan tanpa ambiguitas.