Menganalisis Batas Fungsi $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-\sqrt {2x+3}}{\sqrt {6x-2}-4}$
Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam menganalisis perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-\sqrt {2x+3}}{\sqrt {6x-2}-4}$ dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi di dalam limit tersebut. Fungsi ini terdiri dari dua akar kuadrat yang saling berhubungan. Kita dapat memecahkan fungsi ini menjadi dua bagian terpisah untuk mempermudah analisisnya. Pertama, mari kita fokus pada akar kuadrat di pembilang, yaitu $\sqrt {2x+3}$. Ketika $x$ mendekati 3, kita dapat menggantikan $x$ dengan 3 dalam fungsi ini dan mencari nilai akar kuadratnya. Dalam hal ini, kita memiliki $\sqrt {2(3)+3} = \sqrt {9} = 3$. Jadi, akar kuadrat di pembilang adalah 3 saat $x$ mendekati 3. Selanjutnya, mari kita perhatikan akar kuadrat di penyebut, yaitu $\sqrt {6x-2}$. Kembali, kita dapat menggantikan $x$ dengan 3 dalam fungsi ini dan mencari nilai akar kuadratnya. Dalam hal ini, kita memiliki $\sqrt {6(3)-2} = \sqrt {16} = 4$. Jadi, akar kuadrat di penyebut adalah 4 saat $x$ mendekati 3. Sekarang, kita dapat menggantikan nilai-nilai akar kuadrat ini ke dalam fungsi asli kita. Kita memiliki $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-3}{4-4}$. Namun, kita perlu berhati-hati karena kita tidak dapat membagi dengan nol. Dalam hal ini, penyebut kita menjadi nol saat $x$ mendekati 3. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan teknik faktorisasi. Kita dapat memfaktorkan penyebut kita menjadi $(\sqrt {6x-2}-4)(\sqrt {6x-2}+4)$. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa faktor kedua tidak akan menjadi nol saat $x$ mendekati 3. Jadi, kita dapat membagi faktor pertama dengan faktor kedua dan mendapatkan $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-3}{\sqrt {6x-2}+4}$. Sekarang, kita dapat menggantikan $x$ dengan 3 dalam fungsi ini dan mencari nilai batasnya. Kita memiliki $\frac {3-3}{\sqrt {6(3)-2}+4} = \frac {0}{\sqrt {16}+4} = \frac {0}{4+4} = \frac {0}{8} = 0$. Jadi, batas fungsi $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-\sqrt {2x+3}}{\sqrt {6x-2}-4}$ adalah 0. Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-\sqrt {2x+3}}{\sqrt {6x-2}-4}$ dan menentukan bahwa nilainya adalah 0 saat $x$ mendekati 3.