Menemukan Fungsi \( f(x) \) Berdasarkan Komposisi Fungsi \( f \circ g \)
Dalam soal ini, kita diminta untuk menemukan fungsi \( f(x) \) berdasarkan komposisi fungsi \( f \circ g \), dengan \( g(x) = x + 1 \) dan \( (f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1 \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami konsep komposisi fungsi. Komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam hal ini, kita ingin menemukan fungsi \( f(x) \) yang, ketika dikomposisikan dengan \( g(x) \), menghasilkan fungsi \( x^2 + 3x + 1 \). Langkah pertama adalah mengekspresikan komposisi fungsi \( f \circ g \) dalam bentuk persamaan. Kita tahu bahwa \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \). Dalam hal ini, \( g(x) = x + 1 \), jadi kita dapat menggantikan \( g(x) \) dalam persamaan tersebut: \( (f \circ g)(x) = f(x + 1) \) Selanjutnya, kita ingin menemukan fungsi \( f(x) \) yang, ketika kita menggantikan \( f(x + 1) \) dalam persamaan di atas, menghasilkan \( x^2 + 3x + 1 \). Dengan kata lain, kita ingin menyelesaikan persamaan: \( f(x + 1) = x^2 + 3x + 1 \) Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Kita dapat menggantikan \( x + 1 \) dengan \( u \), sehingga persamaan menjadi: \( f(u) = (u - 1)^2 + 3(u - 1) + 1 \) Sekarang kita memiliki persamaan baru yang hanya melibatkan \( u \) sebagai variabel. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana: \( f(u) = u^2 + u - 1 \) Namun, kita ingin mengekspresikan fungsi \( f(x) \) dalam bentuk \( x \), bukan \( u \). Karena kita menggantikan \( x + 1 \) dengan \( u \), kita dapat menggantikan \( u \) dengan \( x + 1 \) dalam persamaan di atas: \( f(x) = (x + 1)^2 + (x + 1) - 1 \) Sekarang kita memiliki fungsi \( f(x) \) yang diinginkan. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana: \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \) Jadi, jawaban yang benar adalah A. \( x^2 + 5x + 5 \). Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menemukan fungsi \( f(x) \) berdasarkan komposisi fungsi \( f \circ g \). Kita menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan persamaan dan mendapatkan jawaban yang benar. Semoga penjelasan ini membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.