Membuktikan Pernyataan \(2n < 2n^2\)
Pada artikel ini, kita akan membahas dan membuktikan pernyataan matematika yang diberikan, yaitu \(2n < 2n^2\). Pernyataan ini melibatkan variabel \(n\) yang merupakan bilangan bulat positif. Pertama-tama, mari kita pahami arti dari pernyataan ini. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif \(n\), dua kali \(n\) akan selalu lebih kecil daripada dua kali kuadrat \(n\). Untuk membuktikan pernyataan ini, kita akan menggunakan metode matematika yang disebut induksi matematika. Induksi matematika adalah metode yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Langkah pertama dalam metode induksi matematika adalah membuktikan pernyataan untuk kasus dasar, yaitu \(n = 1\). Ketika \(n = 1\), pernyataan yang diberikan menjadi \(2 < 2\), yang jelas benar. Langkah berikutnya adalah mengasumsikan pernyataan ini benar untuk suatu bilangan bulat \(k\), yaitu \(2k < 2k^2\). Kita akan menggunakan asumsi ini untuk membuktikan pernyataan ini benar untuk \(k + 1\). Ketika \(n = k + 1\), pernyataan yang diberikan menjadi \(2(k + 1) < 2(k + 1)^2\). Kita dapat menyederhanakan pernyataan ini menjadi \(2k + 2 < 2(k^2 + 2k + 1)\). Dengan menggunakan asumsi kita, yaitu \(2k < 2k^2\), kita dapat menggantikan \(2k\) dengan \(2k^2\) dalam pernyataan tersebut. Ini menghasilkan \(2k^2 + 2 < 2(k^2 + 2k + 1)\). Kita dapat menyederhanakan pernyataan ini menjadi \(2k^2 + 2 < 2k^2 + 4k + 2\). Dengan mengurangi \(2k^2\) dari kedua sisi, kita mendapatkan \(2 < 4k + 2\). Selanjutnya, dengan mengurangi 2 dari kedua sisi, kita mendapatkan \(0 < 4k\). Karena \(k\) adalah bilangan bulat positif, maka \(4k\) juga positif. Oleh karena itu, pernyataan ini benar untuk \(k + 1\). Dengan demikian, kita telah membuktikan pernyataan \(2n < 2n^2\) benar untuk semua bilangan bulat positif \(n\) menggunakan metode induksi matematika. Dalam kesimpulan, pernyataan \(2n < 2n^2\) benar untuk semua bilangan bulat positif \(n\). Metode induksi matematika adalah alat yang berguna untuk membuktikan pernyataan matematika seperti ini.