Menentukan Jarak \( x \) agar Gaya Coulomb Sama dengan Nol
Dalam masalah ini, kita diberikan dua muatan, \( q_{1} = +9 \mathrm{C} \) dan \( q_{2} = -4 \mathrm{C} \), yang terpisah sejauh \( 30 \mathrm{~cm} \). Kita diminta untuk menentukan jarak \( x \) dari \( q_{2} \) agar gaya Coulomb yang dirasakan oleh muatan ketiga, \( +q \), sama dengan nol. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan hukum Coulomb yang menyatakan bahwa gaya Coulomb antara dua muatan sebanding dengan perkalian kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara mereka. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan persamaan: \[ F = \frac{{k \cdot |q_{1} \cdot q_{3}|}}{{(x_{1} - x_{3})^{2}}} - \frac{{k \cdot |q_{2} \cdot q_{3}|}}{{(x_{2} - x_{3})^{2}}} \] di mana \( F \) adalah gaya Coulomb, \( k \) adalah konstanta Coulomb, \( q_{1} \) dan \( q_{2} \) adalah muatan yang diketahui, \( q_{3} \) adalah muatan ketiga yang ingin kita cari, \( x_{1} \) dan \( x_{2} \) adalah jarak antara muatan yang diketahui dengan muatan ketiga, dan \( x_{3} \) adalah jarak yang ingin kita cari. Dalam kasus ini, kita ingin gaya Coulomb sama dengan nol, sehingga kita dapat menulis persamaan: \[ \frac{{k \cdot |q_{1} \cdot q_{3}|}}{{(x_{1} - x_{3})^{2}}} - \frac{{k \cdot |q_{2} \cdot q_{3}|}}{{(x_{2} - x_{3})^{2}}} = 0 \] Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: \[ \frac{{k \cdot |q_{1} \cdot q_{3}|}}{{(x_{1} - x_{3})^{2}}} = \frac{{k \cdot |q_{2} \cdot q_{3}|}}{{(x_{2} - x_{3})^{2}}} \] Kita dapat menghilangkan konstanta Coulomb dan muatan ketiga yang sama pada kedua sisi persamaan: \[ \frac{{q_{1}}}{{(x_{1} - x_{3})^{2}}} = \frac{{q_{2}}}{{(x_{2} - x_{3})^{2}}} \] Selanjutnya, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan kuadrat jarak untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana: \[ q_{1} \cdot (x_{2} - x_{3})^{2} = q_{2} \cdot (x_{1} - x_{3})^{2} \] Kita dapat mengaljabarkan persamaan ini untuk mendapatkan persamaan kuadrat: \[ q_{1} \cdot (x_{2}^{2} - 2x_{2}x_{3} + x_{3}^{2}) = q_{2} \cdot (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{3} + x_{3}^{2}) \] Kita dapat menghilangkan suku-suku yang sama pada kedua sisi persamaan: \[ q_{1}x_{2}^{2} - 2q_{1}x_{2}x_{3} + q_{1}x_{3}^{2} = q_{2}x_{1}^{2} - 2q_{2}x_{1}x_{3} + q_{2}x_{3}^{2} \] Kita dapat menggabungkan suku-suku yang serupa: \[ (q_{1} - q_{2})x_{2}^{2} + 2(q_{1}x_{3} - q_{2}x_{1})x_{3} + (q_{1} - q_{2})x_{3}^{2} = 0 \] Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( (q_{1} - q_{2}) \) untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang lebih sederhana: \[ x_{2}^{2} + 2\left(\frac{{q_{1}x_{3} - q_{2}x_{1}}}{{q_{1} - q_{2}}}\right)x_{3} + x_{3}^{2} = 0 \] Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan metode faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Setelah kita menemukan solusi untuk \( x_{3} \), kita dapat menggunakannya untuk menentukan jarak \( x \) yang diminta dalam soal. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa persamaan kuadrat ini cukup kompleks dan membutuhkan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan metode numerik seperti metode iterasi atau metode grafik untuk mencari solusi yang mendekati.