Induksi Matematika dalam Membuktikan Rumus Deret Bilangan Kuadrat Alternatif

4

(221 votes)

Induksi matematika adalah metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematika untuk setiap bilangan bulat positif. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus deret bilangan kuadrat alternatif. Rumus yang akan kita buktikan adalah sebagai berikut: $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots +(-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ Rumus ini berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n. Langkah pertama dalam menggunakan induksi matematika adalah membuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jika pernyataan tersebut benar untuk n = 1, kita dapat melanjutkan untuk membuktikannya benar untuk n = k + 1 dengan asumsi bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k. Untuk n = 1, rumus tersebut menjadi: $1^{2}=\frac {(-1)^{1-1}1(1+1)}{2}$ $1=1$ Pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Langkah berikutnya adalah mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k. Dengan kata lain, kita anggap rumus tersebut benar untuk k bilangan bulat positif. Kemudian, kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Dalam hal ini, rumus tersebut menjadi: $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots +(-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}+(-1)^{k} (k+1)^{2}$ Kita dapat menyederhanakan rumus ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)}{2}+(-1)^{k} (k+1)^{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)+2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k+1)-2(-1)^{k} (k+1)^{2}}{2}$ $(-1)^{k-1}k(k+1)+(-1)^{k} (k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k-1}k(k