Hukum-hukum pada himpunan dan pembuktianya: idempoten, asosiatif, komutatif, distributif, identitas, komplemen, dan hukum De Morgan. Berserta contoh soal
Pendahuluan: Artikel ini akan membahas hukum-hukum pada himpunan dan pembuktianya. Kami akan menjelaskan hukum idempoten, asosiatif, komutatif, distributif, identitas, komplemen, dan hukum De Morgan. Selain itu, kami juga akan memberikan contoh soal untuk memperjelas konsep-konsep ini. Bagian: ① Hukum Idempoten: Hukum ini menyatakan bahwa jika sebuah elemen ada dalam himpunan, maka elemen tersebut hanya perlu ditulis sekali. Contoh soal: Jika A = {1, 2, 3, 3, 4}, maka A dapat disederhanakan menjadi A = {1, 2, 3, 4}. ② Hukum Asosiatif: Hukum ini menyatakan bahwa urutan penggabungan himpunan tidak mempengaruhi hasil akhir. Contoh soal: Jika A = {1, 2} , B = {2, 3}, dan C = {3, 4}, maka (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). ③ Hukum Komutatif: Hukum ini menyatakan bahwa urutan penggabungan himpunan tidak mempengaruhi hasil akhir. Contoh soal: Jika A = {1, 2} dan B = {2, 3}, maka A ∪ B = B ∪ A. ④ Hukum Distributif: Hukum ini menyatakan bahwa penggabungan himpunan dengan irisan himpunan dapat didistribusikan. Contoh soal: Jika A = {1, 2} , B = {2, 3}, dan C = {3, 4}, maka A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ⑤ Hukum Identitas: Hukum ini menyatakan bahwa himpunan gabungan dengan himpunan kosong adalah himpunan itu sendiri. Contoh soal: Jika A = {1, 2, 3} dan Ø adalah himpunan kosong, maka A ∪ Ø = A. ⑥ Hukum Komplemen: Hukum ini menyatakan bahwa setiap elemen dalam himpunan memiliki elemen komplementer yang tidak ada dalam himpunan tersebut. Contoh soal: Jika A = {1, 2, 3} dan U adalah himpunan universal, maka A ∪ A' = U. ⑦ Hukum De Morgan: Hukum ini menyatakan bahwa negasi dari penggabungan himpunan sama dengan irisan negasi himpunan. Contoh soal: Jika A = {1, 2} dan B = {2, 3}, maka (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Kesimpulan: Hukum-hukum pada himpunan dan pembuktianya, seperti idempoten, asosiatif, komutatif, distributif, identitas, komplemen, dan hukum De Morgan, adalah konsep penting dalam matematika. Memahami konsep-konsep ini akan membantu dalam pemecahan masalah dan pembuktian dalam matematika.