Membuktikan Ketidaksamaan Kuadrat dengan Syarat Tertentu ##
Dalam matematika, membuktikan ketidaksamaan merupakan langkah penting dalam memahami hubungan antara variabel. Salah satu ketidaksamaan yang sering dijumpai adalah ketidaksamaan kuadrat. Dalam kasus ini, kita akan membuktikan bahwa jika $x > 0$, $y > 0$, dan $x < y$ dengan $x, y \in R$, maka $x^2 < y^2$. Bukti: 1. Mulailah dengan asumsi: Kita diberikan bahwa $x > 0$, $y > 0$, dan $x < y$. 2. Kalikan kedua ruas dengan x: Karena $x > 0$, kita dapat mengalikan kedua ruas persamaan $x < y$ dengan $x$ tanpa mengubah tanda ketidaksamaan. Ini menghasilkan $x^2 < xy$. 3. Kalikan kedua ruas dengan y: Karena $y > 0$, kita dapat mengalikan kedua ruas persamaan $x < y$ dengan $y$ tanpa mengubah tanda ketidaksamaan. Ini menghasilkan $xy < y^2$. 4. Gabungkan ketidaksamaan: Dari langkah 2 dan 3, kita memiliki $x^2 < xy$ dan $xy < y^2$. Dengan sifat transitif ketidaksamaan, kita dapat menyimpulkan bahwa $x^2 < y^2$. Kesimpulan: Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa jika $x > 0$, $y > 0$, dan $x < y$ dengan $x, y \in R$, maka $x^2 < y^2$. Bukti ini menunjukkan bahwa kuadrat dari bilangan positif yang lebih kecil selalu lebih kecil dari kuadrat bilangan positif yang lebih besar. Penting untuk dicatat: Bukti ini hanya berlaku untuk bilangan positif. Jika $x$ atau $y$ negatif, maka ketidaksamaan $x^2 < y^2$ tidak selalu berlaku.