Penentuan Titik Singgung antara Gains dan Lingkaran
<br/ >Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada masalah penentuan titik singgung antara dua bentuk geometri yang berbeda. Dalam kasus ini, kita akan mencari titik singgung antara garis \(x-y-4=0\) (gains) dan lingkaran \(x^{2}+y^{2}-8x-8y+2y=0\). <br/ > <br/ >Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep persamaan garis dan persamaan lingkaran. Pertama, mari kita tinjau persamaan garis \(x-y-4=0\). Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk \(y=x-4\), yang menunjukkan bahwa garis ini memiliki gradien 1 dan titik potong dengan sumbu y pada titik (0, -4). <br/ > <br/ >Selanjutnya, mari kita tinjau persamaan lingkaran \(x^{2}+y^{2}-8x-8y+2y=0\). Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menulis ulang persamaan ini menjadi \(x^{2}-8x+y^{2}-8y+2=0\). Dalam bentuk ini, kita dapat melihat bahwa koefisien x dan y pada persamaan ini adalah -8, yang menunjukkan bahwa pusat lingkaran ini berada pada titik (4, 4). <br/ > <br/ >Untuk menentukan titik singgung antara garis dan lingkaran, kita perlu mencari titik-titik di mana garis dan lingkaran bersinggungan. Kita dapat menggunakan konsep jarak antara titik dan garis untuk mencari titik-titik ini. <br/ > <br/ >Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus jarak antara titik (x1, y1) dan garis ax+by+c=0, yang diberikan oleh rumus: <br/ > <br/ >\[d = \frac{{\left| ax1+by1+c \right|}}{{\sqrt{{a^{2}+b^{2}}}}}\] <br/ > <br/ >Dalam kasus kita, garis memiliki persamaan \(y=x-4\), sehingga kita dapat menggantikan a=1, b=-1, dan c=-4 ke dalam rumus jarak di atas. <br/ > <br/ >Setelah menghitung jarak antara titik (x1, y1) dan garis \(y=x-4\), kita dapat mencari titik-titik di mana jarak ini sama dengan jari-jari lingkaran. Jika kita menemukan titik-titik ini, maka kita dapat menyimpulkan bahwa garis dan lingkaran bersinggungan di titik-titik ini. <br/ > <br/ >Dalam kasus ini, jari-jari lingkaran adalah \(\sqrt{2}\) (karena koefisien x dan y pada persamaan lingkaran adalah -8). Oleh karena itu, kita perlu mencari titik-titik di mana jarak antara titik (x1, y1) dan garis \(y=x-4\) adalah \(\sqrt{2}\). <br/ > <br/ >Setelah melakukan perhitungan yang diperlukan, kita dapat menemukan titik-titik singgung antara garis dan lingkaran.