Menghitung Hasil Pengintegralan
Dalam matematika, pengintegralan adalah proses untuk mencari luas di bawah kurva fungsi. Salah satu bentuk pengintegralan yang umum adalah pengintegralan tentu, di mana kita mencari nilai integral dari suatu fungsi dalam interval tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menghitung hasil dari bentuk pengintegralan yang diberikan. Bentuk pengintegralan yang diberikan adalah $\int _{0}^{1}2x\cdot (x^{2}+1)^{5}dx$. Untuk menghitung hasilnya, kita dapat menggunakan berbagai metode pengintegralan, seperti aturan rantai atau substitusi. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode ekspansi binomial untuk menyelesaikan pengintegralan ini. Pertama, mari kita perhatikan bentuk $(x^{2}+1)^{5}$. Kita dapat menggunakan ekspansi binomial untuk mengubah bentuk ini menjadi jumlah suku-suku yang lebih sederhana. Dengan menggunakan rumus ekspansi binomial, kita dapat menulis $(x^{2}+1)^{5}$ sebagai $x^{10}+5x^{8}+10x^{6}+10x^{4}+5x^{2}+1$. Selanjutnya, kita dapat mengalikan bentuk $(x^{2}+1)^{5}$ dengan $2x$. Dengan melakukan perkalian ini, kita akan mendapatkan suatu polinomial dengan suku-suku berpangkat genap. Hal ini akan mempermudah proses pengintegralan. Setelah mengalikan, kita dapat menulis bentuk pengintegralan $\int _{0}^{1}2x\cdot (x^{2}+1)^{5}dx$ sebagai $\int _{0}^{1}(2x)(x^{10}+5x^{8}+10x^{6}+10x^{4}+5x^{2}+1)dx$. Selanjutnya, kita dapat mengintegrasikan masing-masing suku dalam polinomial ini. Untuk suku-suku berpangkat genap, kita dapat menggunakan rumus integral dasar. Untuk suku-suku berpangkat ganjil, kita dapat menggunakan rumus integral dasar dikalikan dengan aturan rantai. Setelah mengintegrasikan masing-masing suku, kita dapat menulis hasil pengintegralan ini sebagai $[\frac{1}{6}x^{12}+\frac{1}{2}x^{10}+\frac{2}{7}x^{8}+\frac{2}{5}x^{6}+\frac{1}{3}x^{4}+x]_{0}^{1}$. Terakhir, kita dapat menghitung nilai integral ini dengan menggantikan batas atas dan batas bawah. Dalam kasus ini, kita akan menggantikan $x$ dengan 1 dan 0. Setelah menggantikan, kita dapat menulis hasil pengintegralan ini sebagai $[\frac{1}{6}(1)^{12}+\frac{1}{2}(1)^{10}+\frac{2}{7}(1)^{8}+\frac{2}{5}(1)^{6}+\frac{1}{3}(1)^{4}+1]-[\frac{1}{6}(0)^{12}+\frac{1}{2}(0)^{10}+\frac{2}{7}(0)^{8}+\frac{2}{5}(0)^{6}+\frac{1}{3}(0)^{4}+0]$. Setelah melakukan perhitungan, kita dapat menyimpulkan bahwa hasil dari bentuk pengintegralan $\int _{0}^{1}2x\cdot (x^{2}+1)^{5}dx$ adalah $\frac{8}{105}$.