Menentukan Batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $ dari fungsi $ f(z)=\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac {x^{2}}{y+1}i $
<br/ >Fungsi $ f(z)=\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac {x^{2}}{y+1}i $ adalah fungsi kompleks yang terdiri dari dua bagian: bagian real dan bagian imajiner. Untuk menentukan batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $, kita perlu mengevaluasi fungsi saat $ z $ mendekati 0 dari segala arah. <br/ >Pertama, mari kita pertimbangkan batas saat $ z $ mendekati 0 dari garis $ y=0 $. Dalam kasus ini, kita dapat mengganti $ z $ dengan $ x+yi $, di mana $ x=0 $ dan $ y=0 $. Mengganti nilai-nilai ini ke dalam fungsi, kita mendapatkan: <br/ >$ f(z)=\frac {2(0)(0)}{0^{2}+0^{2}}+\frac {0^{2}}{0+1}i = 0+0i = 0 $ <br/ >Kita dapat melihat bahwa batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $ dari garis $ y=0 $ adalah 0. <br/ >Selanjutnya, mari kita pertimbangkan batas saat $ z $ mendekati garis $ x=0 $. Dalam kasus ini, kita dapat mengganti $ z $ dengan $ x+yi $, di mana $ x=0 $ dan $ y=0 $. Mengganti nilai-nilai ini ke dalam fungsi, kita mendapatkan: <br/ >$ f(z)=\frac {2(0)(0)}{0^{2}+0^{2}}+\frac {0^{2}}{0+1}i = 0+0i = 0 $ <br/ >Kita dapat melihat bahwa batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $ dari garis $ x=0 $ juga adalah 0. <br/ >Akhirnya, mari kita pertimbangkan batas saat $ z $ mendekati 0 dari garis $ y=x $. Dalam kasus ini, kita dapat mengganti $ z $ dengan $ x+yi $, di mana $ x=0 $ dan $ y=0 $. Mengganti nilai-nilai ini ke dalam fungsi, kita mendapatkan: <br/ >$ f(z)=\frac {2(0)(0)}{0^{2}+0^{2}}+\frac {0^{2}}{0+1}i = 0+0i = 0 $ <br/ >Kita dapat melihat bahwa batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $ dari garis $ y=x $ juga adalah 0. <br/ >Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa batas $ \lim _{z \rightarrow 0} f(z) $ dari fungsi $ f(z)=\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac {x^{2}}{y+1}i $ adalah 0, tidak peduli arah yang diambil saat $ z $ mendekati 0.