Transformasi Linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \)

4
(189 votes)

Transformasi linear adalah konsep penting dalam aljabar linear yang melibatkan pemetaan vektor dari satu ruang vektor ke ruang vektor lainnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas transformasi linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \) yang didefinisikan oleh persamaan berikut: \[ \mathrm{T}\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A x_1+A x_2-A x_3+A x_4 \\ B x_1+B x_2 \\ -C x_1+C x_3 \end{array}\right) \] a. Matriks Transformasi \( T \) Untuk menentukan matriks transformasi \( T \), kita perlu mengevaluasi \( T \) pada vektor-vektor dasar dari ruang \( R^{4} \). Dalam hal ini, vektor-vektor dasar adalah \(\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), dan \(\mathbf{e}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). Evaluasi \( T \) pada vektor-vektor dasar memberikan: \[ \begin{align*} T(\mathbf{e}_1) &= \begin{bmatrix} A \\ B \\ 0 \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_2) &= \begin{bmatrix} A \\ B \\ 0 \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_3) &= \begin{bmatrix} -A \\ 0 \\ C \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_4) &= \begin{bmatrix} A \\ 0 \\ -C \end{bmatrix} \\ \end{align*} \] Dengan demikian, matriks transformasi \( T \) adalah: \[ [T] = \begin{bmatrix} A & A & -A & A \\ B & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & -C \end{bmatrix} \] b. Vektor Bayangan Dengan menggunakan matriks transformasi \( T \) yang telah kita tentukan sebelumnya, kita dapat menentukan vektor bayangan dengan mengalikan matriks transformasi dengan vektor \( \mathbf{M} = \begin{bmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \end{bmatrix} \). Dalam hal ini, vektor bayangan adalah: \[ \begin{bmatrix} A & A & -A & A \\ B & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & -C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AM_1 + AM_2 - AM_3 + AM_4 \\ BM_1 + BM_2 \\ -CM_1 + CM_3 \end{bmatrix} \] c. Bayangan Akhir dalam Arah \( x \) Jika langkah b diregang dalam arah \( x \), kita perlu mengganti \( M_1 \) dengan \( M_1 + \Delta x \), di mana \( \Delta x \) adalah perubahan dalam arah \( x \). Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menentukan bayangan akhir dalam arah \( x \) dengan menggunakan matriks transformasi \( T \) yang telah kita tentukan sebelumnya. Dalam artikel ini, kita telah membahas transformasi linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \) yang didefinisikan oleh persamaan \( T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2 - A\mathbf{x}_3 + A\math