Mengapa Hasil dari \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}\) adalah 5?
Dalam matematika, \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}\) adalah sebuah limit yang menunjukkan nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu. Dalam kasus ini, kita ingin mencari nilai limit saat \(x\) mendekati 3. Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi. Pertama, kita faktorkan pembilang dan penyebut fungsi menjadi \((x-3)(x+2)\). Kemudian, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \(\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}\). Namun, perhatikan bahwa kita tidak dapat langsung membagi pembilang dan penyebut dengan \(x-3\), karena ini akan menghasilkan pembagian dengan nol. Oleh karena itu, kita harus mencari nilai limit dengan pendekatan lain. Ketika kita mencoba untuk menggantikan \(x\) dengan 3 dalam fungsi, kita mendapatkan \(\frac{(3-3)(3+2)}{3-3}\), yang menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki limit \(\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}\) yang menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\), maka limit tersebut sama dengan limit dari turunan fungsi pembilang dibagi dengan turunan fungsi penyebut. Dalam kasus ini, kita dapat menerapkan aturan L'Hopital dengan menghitung turunan dari pembilang dan penyebut fungsi. Turunan dari \((x-3)(x+2)\) adalah \(2x-1\), dan turunan dari \(x-3\) adalah 1. Oleh karena itu, limit kita menjadi \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x-1}{1}\). Sekarang, kita dapat menggantikan \(x\) dengan 3 dalam fungsi yang telah disederhanakan. Hasilnya adalah \(\frac{2(3)-1}{1}\), yang sama dengan \(\frac{5}{1}\) atau 5. Dengan demikian, hasil dari \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}\) adalah 5. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.