Memahami Batas Fungsi Kuadrat
Dalam mempelajari kalkulus, konsep batas (limit) merupakan salah satu topik yang penting untuk dipahami. Batas memungkinkan kita untuk menentukan perilaku fungsi saat nilai variabel mendekati suatu nilai tertentu. Salah satu contoh yang menarik adalah menghitung batas dari ekspresi akar kuadrat.
Diberikan ekspresi:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{25x^2 + 5x - 2} - 5x + 2$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan operasi aljabar. Pertama-tama, kita dapat memfaktorkan pembilang dari ekspresi akar kuadrat:
$\sqrt{25x^2 + 5x - 2} = \sqrt{(5x + 2)(5x - 1)}$
Selanjutnya, kita dapat menggunakan sifat limit dari akar, yaitu:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x \to \infty} f(x)}$
Sehingga, kita memperoleh:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{25x^2 + 5x - 2} = \sqrt{\lim_{x \to \infty} (5x + 2)(5x - 1)} = \sqrt{25\lim_{x \to \infty} x^2} = 5\sqrt{\lim_{x \to \infty} x^2} = 5\lim_{x \to \infty} x = \infty$
Selanjutnya, kita dapat menghitung limit dari $-5x + 2$, yang merupakan fungsi linier:
$\lim_{x \to \infty} (-5x + 2) = -5\lim_{x \to \infty} x + 2 = -\infty + 2 = -\infty$
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{25x^2 + 5x - 2} - 5x + 2 = \infty - \infty = \text{tidak terdefinisi}$
Jadi, jawaban yang benar adalah (d) tidak terdefinisi.