Mengubah Bentuk \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \) menjadi \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) dan Menghitung Nilai \( \frac{6p}{q} \)
Dalam soal ini, kita diminta untuk mengubah bentuk \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \) menjadi bentuk \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) dan menghitung nilai dari \( \frac{6p}{q} \). Mari kita bahas langkah-langkah untuk mencapai tujuan ini. Langkah pertama adalah mengubah bentuk \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \) menjadi bentuk \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \). Untuk melakukan ini, kita perlu mencari nilai \( p \) dan \( q \) yang sesuai. Kita dapat memulai dengan mengasumsikan \( \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{p}+\sqrt{q} \). Kita akan kuadratkan kedua sisi persamaan ini untuk mendapatkan: \( 4+\sqrt{15} = p + 2\sqrt{pq} + q \) Dalam persamaan ini, kita dapat melihat bahwa \( p \) dan \( q \) harus memenuhi persyaratan \( 4 = p + q \) dan \( \sqrt{15} = 2\sqrt{pq} \). Mari kita selesaikan persamaan pertama terlebih dahulu. Dengan menggantikan \( q \) dengan \( 4 - p \), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: \( \sqrt{15} = 2\sqrt{p(4-p)} \) Kita dapat membagi kedua sisi persamaan ini dengan 2 untuk mendapatkan: \( \frac{\sqrt{15}}{2} = \sqrt{p(4-p)} \) Kuadratkan kedua sisi persamaan ini untuk mendapatkan: \( \frac{15}{4} = p(4-p) \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk kuadrat: \( 0 = p^2 - 4p + \frac{15}{4} \) Kita dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat ini dengan menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi. Setelah kita menemukan nilai-nilai \( p \) yang memenuhi persamaan ini, kita dapat menggantikan nilai \( p \) dan \( q \) ke dalam persamaan awal \( \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{p}+\sqrt{q} \). Setelah kita mendapatkan bentuk \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \), kita dapat menghitung nilai dari \( \frac{6p}{q} \) dengan menggantikan nilai \( p \) dan \( q \) ke dalam persamaan ini. Dengan demikian, kita dapat menyelesaikan soal ini dengan mengubah bentuk \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \) menjadi \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) dan menghitung nilai dari \( \frac{6p}{q} \). Jawaban akhir dari soal ini adalah nilai dari \( \frac{6p}{q} \) tergantung pada nilai \( p \) dan \( q \) yang kita temukan dalam proses mengubah bentuk \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \) menjadi \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \).