Merasionalkan Penyebut dan Menentukan Nilai p dalam Persamaan Kuadrat
Dalam matematika, merasionalkan penyebut adalah proses menghilangkan akar di penyebut pecahan. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara merasionalkan penyebut dari pecahan \( \frac{3}{3-\sqrt{2}} \) dan menentukan nilai \( p \) dalam persamaan kuadrat \( 2x^2 + px + 2 = 0 \). Pertama, mari kita fokus pada merasionalkan penyebut dari pecahan \( \frac{3}{3-\sqrt{2}} \). Untuk merasionalkan penyebut, kita perlu menghilangkan akar di penyebut tersebut. Kita dapat melakukan ini dengan mengalikan penyebut dengan konjugatnya, yaitu \( 3 + \sqrt{2} \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan: \[ \frac{3}{3-\sqrt{2}} \times \frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{3(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan penyebut dengan mengalikan binomial konjugatnya: \[ \frac{3(3+\sqrt{2})}{9-2} = \frac{3(3+\sqrt{2})}{7} \] Jadi, bentuk sederhana dari \( \frac{3}{3-\sqrt{2}} \) adalah \( \frac{3(3+\sqrt{2})}{7} \). Selanjutnya, mari kita fokus pada menentukan nilai \( p \) dalam persamaan kuadrat \( 2x^2 + px + 2 = 0 \) yang memiliki akar-akar persamaan yang sama. Untuk menentukan nilai \( p \), kita dapat menggunakan rumus diskriminan. Diskriminan (\( D \)) dalam persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \) diberikan oleh \( D = b^2 - 4ac \). Dalam persamaan kuadrat \( 2x^2 + px + 2 = 0 \), kita memiliki \( a = 2 \), \( b = p \), dan \( c = 2 \). Karena persamaan ini memiliki akar-akar persamaan yang sama, maka diskriminannya harus sama dengan nol. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ 0 = p^2 - 4(2)(2) \] Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk menentukan nilai \( p \). Dengan menyederhanakan, kita akan mendapatkan: \[ 0 = p^2 - 16 \] \[ p^2 = 16 \] \[ p = \pm 4 \] Jadi, nilai \( p \) dalam persamaan kuadrat \( 2x^2 + px + 2 = 0 \) adalah \( p = \pm 4 \). Dalam artikel ini, kita telah membahas cara merasionalkan penyebut dari pecahan \( \frac{3}{3-\sqrt{2}} \) dan menentukan nilai \( p \) dalam persamaan kuadrat \( 2x^2 + px + 2 = 0 \) yang memiliki akar-akar persamaan yang sama. Semoga penjelasan ini membantu Anda memahami konsep-konsep ini dengan lebih baik.