Konvergensi Fungsi \( g_{n}(x) \) ke \( g(x)=0 \) pada Interval \( (0,1) \)
Untuk membuktikan bahwa fungsi \( g_{n}(x) \) konvergen titik demi titik ke \( g(x)=0 \) pada interval \( (0,1) \), kita akan menunjukkan bahwa \(\lim _{x \rightarrow \infty} g_{n}(x)=g(x) \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{nx}=0\) untuk setiap \(x \in (0,1)\). Misalkan \(g_{n}(x)=\frac{\sin(nx)}{nx}\) dan \(f(x)=0\) untuk setiap \(x \in (0,1)\). Ambil suatu \(\varepsilon > 0\), maka terdapat \(N > \frac{1}{\varepsilon x}\) sedemikian sehingga untuk setiap \(n \geq N\). Karena \(\left|\sin(nx)\right| \leq 1\) untuk setiap \(y \in \mathbf{R}\), maka \[ \begin{aligned} \left|\frac{\sin(nx)}{nx}-0\right| & =\left|\frac{\sin(nx)}{nx}\right| \\ & \leq \left|\frac{1}{nx}\right| \\ & \leq \frac{1}{Nx} \\ & < \varepsilon \end{aligned} \] Dengan demikian, terbukti bahwa barisan fungsi yang didefinisikan di interval \( (0,1) \), yaitu \(g_{n}(x)=\frac{\sin(nx)}{nx}\), konvergen titik demi titik menuju \(g(x)=0\). Artikel ini bertujuan untuk membuktikan konvergensi fungsi \(g_{n}(x)\) ke \(g(x)=0\) pada interval \( (0,1) \). Dalam pembuktian ini, kita menggunakan definisi konvergensi dan sifat-sifat fungsi sinus untuk menunjukkan bahwa batas dari \(g_{n}(x)\) saat \(n\) mendekati tak hingga adalah \(g(x)\).