Mencari Nilai c yang Memenuhi Persamaan Matriks
Dalam soal ini, kita diberikan dua matriks, yaitu \( P \) dan \( Q \), dan kita diminta untuk mencari nilai \( c \) yang memenuhi persamaan \( P = 2Q^{\top} \). Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menuliskan matriks \( Q^{\top} \). Untuk mendapatkan transpose dari matriks \( Q \), kita perlu menukar baris dengan kolom. Jadi, matriks \( Q^{\top} \) adalah: \[ Q^{\top} = \left(\begin{array}{cc}2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7\end{array}\right) \] Selanjutnya, kita dapat mengalikan matriks \( Q^{\top} \) dengan 2: \[ 2Q^{\top} = \left(\begin{array}{cc}4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14\end{array}\right) \] Sekarang, kita dapat menyamakan matriks \( P \) dengan \( 2Q^{\top} \): \[ \left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 2b & 3c\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14\end{array}\right) \] Dari persamaan di atas, kita dapat menyelesaikannya dengan mencocokkan koefisien masing-masing elemen matriks. Berdasarkan persamaan tersebut, kita dapat menarik kesimpulan bahwa: \[ 2 = 4c-6b \quad \text{(1)} \] \[ 4 = 2a \quad \text{(2)} \] \[ 2b = 4a+2 \quad \text{(3)} \] \[ 3c = 2b+14 \quad \text{(4)} \] Dari persamaan (2), kita dapat menyimpulkan bahwa \( a = 2 \). Substitusikan nilai \( a \) ke dalam persamaan (3): \[ 2b = 4(2)+2 \] \[ 2b = 8+2 \] \[ 2b = 10 \] \[ b = 5 \] Selanjutnya, substitusikan nilai \( b \) ke dalam persamaan (1): \[ 2 = 4c-6(5) \] \[ 2 = 4c-30 \] \[ 4c = 32 \] \[ c = 8 \] Jadi, nilai \( c \) yang memenuhi persamaan \( P = 2Q^{\top} \) adalah 8. Jawaban: D. 8