Matriks yang Memenuhi Persamaan Linier
Dalam matematika, matriks adalah suatu tabel berisi angka-angka yang disusun dalam baris dan kolom. Matriks sering digunakan untuk memecahkan persamaan linier, di mana kita mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan dua matriks, yaitu \( \left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ 2 & -3\end{array}\right) \) dan \( \left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ -2 & 2\end{array}\right) \). Kita ingin mencari matriks \( X \) yang memenuhi persamaan \( \left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ 2 & -3\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ -2 & 2\end{array}\right) \). Untuk mencari matriks \( X \), kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode invers. Metode eliminasi Gauss-Jordan melibatkan operasi baris dasar seperti pertukaran baris, penggandaan baris, dan penjumlahan baris. Metode invers melibatkan menginvers matriks pertama dan mengalikannya dengan matriks kedua. Mari kita gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari matriks \( X \). Pertama, kita tulis kedua matriks dalam bentuk augmented matrix: \[ \left(\begin{array}{cc|cc}5 & -7 & 5 & -7 \\ 2 & -3 & -2 & 2\end{array}\right) \] Kemudian, kita lakukan operasi baris untuk mengubah matriks tersebut menjadi bentuk echelon: \[ \left(\begin{array}{cc|cc}1 & -\frac{7}{5} & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \] Selanjutnya, kita lakukan operasi baris lagi untuk mengubah matriks tersebut menjadi bentuk reduced echelon: \[ \left(\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \] Dari bentuk reduced echelon ini, kita dapat melihat bahwa matriks \( X \) yang memenuhi persamaan adalah: \[ X = \left(\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \] Dengan demikian, kita telah menemukan matriks \( X \) yang memenuhi persamaan \( \left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ 2 & -3\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\ -2 & 2\end{array}\right) \).