Menghitung Nilai Ekspektasi dari Variabel Acak Z
Dalam dunia statistik dan probabilitas, nilai ekspektasi dari suatu variabel acak memberikan informasi penting tentang rata-rata jangka panjang dari hasil eksperimen yang diulang-ulang. Kita akan menghitung nilai ekspektasi dari variabel acak \( Z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \), dengan \( X \) dan \( Y \) sebagai variabel acak yang memiliki fungsi kepadatan gabungan: \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr} 4 x y, & 0 <x, \quad y <1 \\ 0, & \text { lainnya } \end{array}\right. \] Untuk menemukan nilai ekspektasi \( E[Z] \), kita perlu mengintegrasikan \( Z \) dengan fungsi kepadatan gabungan \( f(x, y) \) terhadap seluruh ruang sampel. Dalam hal ini, kita akan mengintegrasikan pada rentang \( 0 < x < 1 \) dan \( 0 < y < 1 \), karena di luar rentang ini, fungsi kepadatan gabungan adalah nol. Nilai ekspektasi \( E[Z] \) dihitung dengan integral berikut: \[ E[Z] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot 4xy \, dx \, dy \] Kita akan menyelesaikan integral ini dengan mengubah urutan integrasi atau menggunakan metode koordinat polar jika diperlukan, untuk mempermudah perhitungan. Setelah menyelesaikan integral tersebut, kita akan mendapatkan nilai ekspektasi \( E[Z] \), yang memberikan gambaran tentang nilai rata-rata dari \( Z \) dalam jangka panjang. Pemahaman tentang nilai ekspektasi ini sangat berguna dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan rekayasa, di mana kita sering berhadapan dengan variabel acak dan perlu memprediksi perilaku rata-rata mereka. Dengan menghitung nilai ekspektasi, siswa dapat memperoleh wawasan yang lebih dalam tentang distribusi probabilitas dan bagaimana variabel acak berinteraksi satu sama lain dalam konteks matematika terapan.