Menemukan Suku Kelima dari Barisan Geometri
Barisan geometri (GP) adalah deret bilangan dimana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Dalam artikel ini, kita akan mencari suku kelima dari GP berdasarkan informasi yang diberikan. Dalam soal ini, kita diberikan dua informasi. Pertama, produk dari tiga suku pertama GP adalah 1. Kedua, produk dari suku ketiga, keempat, dan kelima GP adalah \( \frac{11^{25}}{64} \). Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat mencari suku kelima dari GP. Mari kita sebut suku pertama GP sebagai \( a \) dan rasio sebagai \( r \). Dengan demikian, suku kedua GP adalah \( ar \), suku ketiga adalah \( ar^2 \), suku keempat adalah \( ar^3 \), dan suku kelima adalah \( ar^4 \). Dari informasi pertama, kita dapat membentuk persamaan: \( a \cdot ar \cdot ar^2 = 1 \) Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \( a^3r^3 = 1 \) Dari informasi kedua, kita dapat membentuk persamaan kedua: \( ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4 = \frac{11^{25}}{64} \) Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \( a^3r^9 = \frac{11^{25}}{64} \) Sekarang, kita dapat membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama untuk menghilangkan variabel \( a \): \( \frac{a^3r^9}{a^3r^3} = \frac{\frac{11^{25}}{64}}{1} \) Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \( r^6 = \frac{11^{25}}{64} \) Kemudian, kita dapat mengambil akar enam dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan nilai \( r \): \( r = \sqrt[6]{\frac{11^{25}}{64}} \) Setelah kita mengetahui nilai \( r \), kita dapat menggantikannya ke dalam persamaan pertama untuk mencari nilai \( a \): \( a^3r^3 = 1 \) \( a^3 \cdot \left(\sqrt[6]{\frac{11^{25}}{64}}\right)^3 = 1 \) Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \( a^3 \cdot \frac{11^{25}}{64} = 1 \) Kemudian, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan \( \frac{64}{11^{25}} \) untuk mencari nilai \( a \): \( a^3 = \frac{64}{11^{25}} \) \( a = \sqrt[3]{\frac{64}{11^{25}}} \) Setelah kita mengetahui nilai \( a \) dan \( r \), kita dapat menggantikannya ke dalam persamaan untuk mencari suku kelima GP: \( ar^4 = \sqrt[3]{\frac{64}{11^{25}}} \cdot \left(\sqrt[6]{\frac{11^{25}}{64}}\right)^4 \) Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapatkan: \( ar^4 = \sqrt[3]{\frac{64}{11^{25}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{11^{25}}{64}}^4 \) Dengan melakukan perhitungan ini, kita dapat menemukan suku kelima dari GP. Harap dicatat bahwa perhitungan ini didasarkan pada informasi yang diberikan dalam soal. Jika ada informasi tambahan yang diberikan, perhitungan ini mungkin berbeda.