Solusi Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah topik yang menarik dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan mencari solusi untuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel \(x\), \(y\), dan \(z\). Sistem persamaan linear ini dapat ditulis sebagai berikut: \[ \left\{\begin{array}{c} x-5y-z=2 \\ 3x-9y+3z=6 \\ x-3y+z=-10 \end{array}\right. \] Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini melibatkan serangkaian operasi baris elementer untuk mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana. Langkah pertama dalam metode ini adalah mengubah sistem persamaan menjadi matriks augmented. Matriks augmented adalah matriks yang terdiri dari koefisien variabel dan konstanta pada sisi kanan persamaan. Dalam kasus ini, matriks augmented untuk sistem persamaan ini adalah: \[ \begin{bmatrix} 1 & -5 & -1 & 2 \\ 3 & -9 & 3 & 6 \\ 1 & -3 & 1 & -10 \end{bmatrix} \] Setelah matriks augmented dibentuk, langkah selanjutnya adalah menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk matriks eselon tereduksi. Matriks eselon tereduksi adalah matriks yang memiliki bentuk segitiga atas dengan elemen-elemen di atas diagonal utama semua nol, dan setiap baris yang mengandung elemen nol dihapus. Dalam kasus ini, setelah menerapkan operasi baris elementer, kita mendapatkan matriks eselon tereduksi berikut: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \] Dari matriks eselon tereduksi ini, kita dapat melihat bahwa solusi untuk sistem persamaan ini adalah \(x = -3\), \(y = -1\), dan \(z = 2\). Ini berarti bahwa ketiga persamaan dalam sistem persamaan linear ini terpenuhi ketika kita menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan. Dalam kesimpulan, kita telah berhasil menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Solusi untuk sistem persamaan ini adalah \(x = -3\), \(y = -1\), dan \(z = 2\). Metode ini adalah salah satu metode yang paling umum digunakan dalam matematika untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan lebih dari satu variabel.