Membahas Konvergensi Deret Tak Hingga \( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} \ldots \)
Deret tak hingga \( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} \ldots \) adalah deret geometri dengan rasio \( \frac{1}{4} \). Dalam artikel ini, kita akan membahas konvergensi deret ini dan mencari tahu apakah deret ini memiliki jumlah tak hingga atau tidak. Pertama-tama, mari kita lihat bagaimana deret ini terbentuk. Deret ini dapat ditulis dalam bentuk \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} \), di mana \( n \) adalah indeks suku dalam deret. Suku pertama dalam deret ini adalah \( \frac{1}{4^0} = 1 \), suku kedua adalah \( \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} \), suku ketiga adalah \( \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \), dan seterusnya. Untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen, kita perlu melihat apakah jumlah suku-suku deret ini mendekati suatu nilai tertentu saat \( n \) mendekati tak hingga. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus jumlah deret geometri konvergen, yaitu \( S = \frac{a}{1-r} \), di mana \( S \) adalah jumlah deret, \( a \) adalah suku pertama, dan \( r \) adalah rasio. Dalam deret ini, \( a = 1 \) dan \( r = \frac{1}{4} \). Jadi, rumus jumlah deret geometri ini menjadi \( S = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa deret ini konvergen dan memiliki jumlah \( \frac{4}{3} \). Ini berarti bahwa jika kita menambahkan semua suku dalam deret ini, kita akan mendekati \( \frac{4}{3} \) saat \( n \) mendekati tak hingga. Dalam matematika, deret ini dikenal sebagai deret geometri tak hingga dengan rasio \( \frac{1}{4} \). Deret ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, dan statistik. Misalnya, dalam fisika, deret ini dapat digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan eksponensial atau penurunan suatu fenomena. Dalam kesimpulan, deret tak hingga \( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} \ldots \) adalah deret geometri dengan rasio \( \frac{1}{4} \). Deret ini konvergen dan memiliki jumlah \( \frac{4}{3} \).