Menentukan Nilai a yang Memenuhi Persamaan Limit
Dalam matematika, limit adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam soal ini, kita diminta untuk menentukan nilai a yang memenuhi persamaan limit tertentu. Persamaan limit yang diberikan adalah: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {ax^{2}-2x-1}{3x-x^{2}+1}=3$ Untuk menyelesaikan persamaan limit ini, kita perlu mencari nilai a yang memenuhi persamaan tersebut. Mari kita lihat langkah-langkahnya. Langkah pertama adalah dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan denominasi tertinggi dalam persamaan, yaitu $(3x-x^{2}+1)$. Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan persamaan baru: $ax^{2}-2x-1 = 3(3x-x^{2}+1)$ Langkah kedua adalah dengan menyederhanakan persamaan tersebut. Kita dapat melakukan ini dengan mengalikan dan mengelompokkan suku-suku yang serupa. Setelah melakukan langkah ini, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat: $ax^{2}-2x-1 = 9x-3x^{2}+3$ Langkah ketiga adalah dengan menyederhanakan persamaan kuadrat tersebut. Kita dapat melakukan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa dan membawa semua suku ke satu sisi persamaan. Setelah melakukan langkah ini, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat yang sederhana: $4x^{2}+(2-a)x+4=0$ Langkah terakhir adalah dengan mencari nilai a yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Kita dapat menggunakan rumus diskriminan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus diskriminan adalah: $D = b^{2}-4ac$ Dalam persamaan kuadrat kita, a = 4, b = (2-a), dan c = 4. Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke rumus diskriminan, kita dapat mencari nilai D. Setelah menemukan nilai D, kita dapat menggunakan aturan diskriminan untuk menentukan jumlah dan jenis akar persamaan kuadrat. Jika D > 0, maka persamaan memiliki dua akar berbeda. Jika D = 0, maka persamaan memiliki satu akar ganda. Jika D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real. Setelah menentukan jumlah dan jenis akar persamaan kuadrat, kita dapat mencari nilai a yang memenuhi persamaan limit. Jika persamaan memiliki dua akar berbeda, kita dapat mencari nilai a yang membuat persamaan limit sama dengan 3 saat x mendekati tak hingga. Jika persamaan memiliki satu akar ganda, kita dapat mencari nilai a yang membuat persamaan limit sama dengan 3 saat x mendekati tak hingga. Jika persamaan tidak memiliki akar real, maka tidak ada nilai a yang memenuhi persamaan limit. Dengan menggunakan langkah-langkah di atas, kita dapat menentukan nilai a yang memenuhi persamaan limit yang diberikan.