Mengeksplorasi Batas dari Akar Kuadrat: Studi Kasus $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3}$
Dalam matematika, batas dari suatu ekspresi saat x mendekati tak terhingga adalah nilai yang ekspresi mendekati saat x mendekati tak terhingga. Dalam kasus ini, kita ingin mengeksplorasi batas dari ekspresi $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3}$ saat x mendekati tak terhingga. Untuk memahami batas ini, mari kita pertimbangkan ekspresi tersebut saat x mendekati tak terhingga. Ketika kita menggandakan suku-suku di dalam akar kuadrat, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3} = \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {(x+\frac {1}{2})^2} - \sqrt {(x-1)^2}$ Sekarang, ketika x mendekati tak terhingga, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital untuk mengeksplorasi batas ini. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki suatu bentuk tak terhingga seperti $\frac {0}{0}$ atau $\frac {\infty}{\infty}$, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah dan mengulangi proses tersebut sampai kita mendapatkan hasil yang akurat. Dengan menerapkan aturan L'Hopital, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {(x+\frac {1}{2})^2} - \sqrt {(x-1)^2} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {(x+\frac {1}{2})}{2(x+\frac {1}{2})} - \frac {(x-1)}{2(x-1)}$ Sekarang, ketika kita menyederhanakan ekspresi ini, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {x+\frac {1}{2}}{2(x+\frac {1}{2})} - \frac {x-1}{2(x-1)} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {2x+1}{4x+2} - \frac {2x-2}{4x-2}$ Ketika kita membagi pembilang dan penyebut dengan faktor umum 2, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {2x+1}{4x+2} - \frac {2x-2}{4x-2} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {x+\frac {1}{2}}{2x+1} - \frac {x-1}{2x-2}$ Sekarang, ketika kita membagi pembilang dan penyebut dengan faktor umum x, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {x+\frac {1}{2}}{2x+1} - \frac {x-1}{2x-2} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {1+\frac {1}{2x}}{2+ \frac {1}{x}} - \frac {1-\frac {1}{2x}}{2-\frac {1}{x}}$ Ketika kita membagi pembilang dan penyebut dengan faktor umum x, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {1+\frac {1}{2x}}{2+ \frac {1}{x}} - \frac {1-\frac {1}{2x}}{2-\frac {1}{x}} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {1+\frac {1}{2x}}{2x+1} - \frac {1-\frac {1}{2x}}{2x-1}$ Sekarang, ketika kita membagi pembilang dan penyebut dengan faktor umum 2x, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {1+\frac {1}{2x}}{2x+1} - \frac {1-\frac {1}{2x}}{2x-1} = \