Persamaan Kuadrat dengan Akar \(3+\sqrt{2}\) dan \(3-\sqrt{2}\)
Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan matematika yang paling umum digunakan dalam aljabar. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Salah satu aspek yang menarik dari persamaan kuadrat adalah akar-akarnya, yaitu nilai-nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan akar-akar persamaan kuadrat \(3+\sqrt{2}\) dan \(3-\sqrt{2}\). Untuk menentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi balik. Metode ini melibatkan mengalikan faktor-faktor dari akar-akar untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang sesuai. Mari kita mulai dengan akar \(3+\sqrt{2}\). Kita tahu bahwa jika \(x = 3+\sqrt{2}\) adalah akar persamaan kuadrat, maka \(x - (3+\sqrt{2}) = 0\). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi \(x - 3 - \sqrt{2} = 0\). Selanjutnya, kita dapat mengalikan persamaan ini dengan \(x - 3 + \sqrt{2}\) untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang sesuai. \((x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) = 0\) Dengan mengalikan persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan persamaan menjadi bentuk kuadrat yang lebih sederhana. \(x^2 - 3x + \sqrt{2}x - 3x + 9 - 3\sqrt{2} - \sqrt{2}x + 3\sqrt{2} + 2 = 0\) \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar \(3+\sqrt{2}\) adalah \(x^2 - 6x + 8 = 0\). Sekarang, mari kita lakukan hal yang sama untuk akar \(3-\sqrt{2}\). Jika \(x = 3-\sqrt{2}\) adalah akar persamaan kuadrat, maka \(x - (3-\sqrt{2}) = 0\). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi \(x - 3 + \sqrt{2} = 0\). Selanjutnya, kita dapat mengalikan persamaan ini dengan \(x - 3 - \sqrt{2}\) untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang sesuai. \((x - 3 + \sqrt{2})(x - 3 - \sqrt{2}) = 0\) Dengan mengalikan persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan persamaan menjadi bentuk kuadrat yang lebih sederhana. \(x^2 - 3x - \sqrt{2}x - 3x + 9 + 3\sqrt{2} + \sqrt{2}x - 3\sqrt{2} + 2 = 0\) \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar \(3-\sqrt{2}\) adalah \(x^2 - 6x + 8 = 0\). Dalam kedua kasus, persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar \(3+\sqrt{2}\) dan \(3-\sqrt{2}\) adalah \(x^2 - 6x + 8 = 0\).