Mencari Bentuk Rasional dalam Pecahan
Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada pecahan yang memiliki akar di penyebutnya. Tugas kita adalah mencari bentuk rasional dari pecahan tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh dan mencari bentuk rasional dari pecahan yang diberikan. Contoh Pertama: Pertama, mari kita cari bentuk rasional dari pecahan \( \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} \). Untuk mencari bentuk rasional, kita perlu menghilangkan akar di penyebut. Kita dapat menggunakan metode konjugat untuk melakukannya. Dalam kasus ini, kita akan mengalikan pecahan dengan konjugat dari penyebut, yaitu \( \sqrt{3}-\sqrt{7} \). Dengan demikian, pecahan menjadi: \[ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-\sqrt{7}} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan pecahan tersebut: \[ \frac{5(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})} \] \[ \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{3-7} \] \[ \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{-4} \] \[ \frac{-5}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{7}) \] Jadi, bentuk rasional dari pecahan \( \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} \) adalah \( \frac{-5}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{7}) \). Contoh Kedua: Selanjutnya, kita akan mencari bentuk rasional dari pecahan \( \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \). Kembali, kita akan menggunakan metode konjugat untuk menghilangkan akar di penyebut. Kali ini, konjugat dari penyebut adalah \( 3 \sqrt{2}+\sqrt{3} \). Kita akan mengalikan pecahan dengan konjugat tersebut: \[ \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+\sqrt{3}} \] Setelah menyederhanakan, pecahan menjadi: \[ \frac{2 \sqrt{5}(3 \sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}-\sqrt{3})(3 \sqrt{2}+\sqrt{3})} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}{9 \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}{18-3} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}{15} \] Jadi, bentuk rasional dari pecahan \( \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \) adalah \( \frac{6 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}{15} \). Contoh Ketiga: Selanjutnya, kita akan mengubah pecahan \( \frac{4}{3-\sqrt{5}} \) menjadi bentuk rasional. Kali ini, kita perlu menghilangkan akar di penyebut dengan menggunakan metode konjugat. Konjugat dari penyebut adalah \( 3+\sqrt{5} \). Kita akan mengalikan pecahan dengan konjugat tersebut: \[ \frac{4}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \] Setelah menyederhanakan, pecahan menjadi: \[ \frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} \] \[ \frac{12+4 \sqrt{5}}{9-5} \] \[ \frac{12+4 \sqrt{5}}{4} \] \[ 3+\sqrt{5} \] Jadi, bentuk rasional dari pecahan \( \frac{4}{3-\sqrt{5}} \) adalah \( 3+\sqrt{5} \). Contoh Keempat: Terakhir, kita akan mencari nilai dari pecahan \( \frac{5^{2-n}-(0,2)^{n}}{5^{1-n}+(0,2)^{n}} \). Untuk mencari nilai pecahan ini, kita perlu menggantikan \( n \) dengan nilai yang diberikan. Misalnya, jika \( n = 2 \), maka pecahan menjadi: \[ \frac{5^{2-2}-(0,2)^{2}}{5^{1-2}+(0,2)^{2}} \] \[ \frac{5^{0}-0,04}{5^{-1}+0,04} \] \[ \frac{1-0,04}{\frac{1}{5}+0,04} \] \[ \frac{0,96}{\frac{1}{5,04}} \] \[ 0,96 \times 5,04 \] \[ 4,8384 \] Jadi, nilai dari pecahan \( \frac{5^{2-n}-(0,2)^{n}}{5^{1-n}+(0,2)^{n}} \) saat \( n = 2 \) adalah 4,8384. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh dan mencari bentuk rasional dari pecahan yang diberikan. Dengan menggunakan metode konjugat, kita dapat menghilangkan akar di penyebut dan mendapatkan bentuk rasional yang lebih sederhana. Semoga artikel ini bermanfaat dalam memahami konsep pecahan dengan akar di penyebutnya.