Menggunakan Identitas Trigonomet Membuktikan Batas
Dalam matematika, identitas trigonometri adalah rumus yang menghubungkan fungsi trigonometri yang berbeda. Mereka sangat berguna dalam membuktikan batas, karena mereka memungkinkan kita untuk mengubah bentuk ekspresi sehingga batas menjadi lebih mudah dibuktikan. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri untuk membuktikan beberapa batas yang umum. Pertama, mari kita lihat batas berikut: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {ax}{sinbx}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinax}{bx}=\frac {a}{b}$ Untuk membuktikan batas ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sin x \approx x$ ketika $x$ mendekati 0. Dengan mengganti $sinbx$ dengan $bx$ dalam ekspresi pertama, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac { _{x\rightarrow 0}\frac {ax}{bx}=\frac {a}{b}$ Sekarang, mari kita lihat batas berikut: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {ax}{tanbx}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {tanax}{bx}=\frac {a}{b}$ Untuk membuktikan batas ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\tan x \approx x$ ketika $x$ mendekati 0. Dengan mengganti $tanbx$ dengan $bx$ dalam ekspresi pertama, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {ax}{tanbx}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {ax}{bx}=\frac {a}{b}$ Selanjutnya, mari kita lihat batas berikut: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinax}{tanbx}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {tanax}{sinbx}=\frac {a}{b}$ Untuk membuktikan batas ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\tan x = \frac{sin x}{cos x}$. Dengan mengganti $tanax$ dengan $\frac{sinax}{cosax}$ dan $sinbx$ dengan $bxcosax$ dalam ekspresi pertama, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinax}{tanbx}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinax}{\frac{sinax}{cosax}}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {cosax}{bxcosax}=\frac {a}{b}$ Terakhir, mari kita lihat batas berikut: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {a(x-c)}{sinb(x-c)}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sina(x-c)}{b(x-c)}=\frac {a}{b}$ Untuk membuktikan batas ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sin(x-c) = \sin x \cos c c$. Dengan mengganti $sinb(x-c)$ dengan $\sinb x \cos c - \cosb x \sin c$ dalam ekspresi pertama, kita mendapatkan: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {a(x-c)}{sinb(x-c)}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {a(x-c)}{\sinb x \cos c - \cosb x \sin c}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {a(x-c)}{\frac{a(x-c)}{\cosb x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {b(x-c)}{\cosb x}=\frac {a}{b}$ Dengan menggunakan identitas trigonometri ini, kita dapat membuktikan bahwa batas-batas ini semua sama dengan $\frac {a}{b}$. Identitas trigonometri ini sangat berguna dalam membuktikan batas, dan mereka dapat membantu membuat pembuktian lebih sederhana dan ringkas.