Mengapa |x-a| < ε Sama dengan a-ε < x < a+ε **
Dalam matematika, khususnya dalam analisis real, memahami konsep jarak dan kedekatan sangat penting. Salah satu cara untuk menyatakan kedekatan antara dua bilangan real, x dan a, adalah dengan menggunakan nilai absolut dari selisih mereka, yaitu |x-a|. Pernyataan |x-a| < ε menyatakan bahwa jarak antara x dan a kurang dari ε. Sekarang, mari kita perhatikan pernyataan a-ε < x < a+ε. Pernyataan ini menyatakan bahwa x terletak di antara a-ε dan a+ε, dengan kata lain, x berada dalam jarak ε dari a. Bukti: Jika |x-a| < ε, maka a-ε < x < a+ε: * Karena |x-a| < ε, maka -ε < x-a < ε. * Menambahkan a ke semua sisi pertidaksamaan, kita dapatkan a-ε < x < a+ε. Jika a-ε < x < a+ε, maka |x-a| < ε: * Karena a-ε < x < a+ε, maka -ε < x-a < ε. * Karena x-a berada di antara -ε dan ε, maka |x-a| < ε. Kesimpulan: Dari bukti di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa |x-a| < ε sama dengan a-ε < x < a+ε. Kedua pernyataan ini menyatakan hal yang sama, yaitu bahwa x berada dalam jarak ε dari a. Pentingnya Konsep: Konsep ini sangat penting dalam analisis real, khususnya dalam pembahasan limit dan kontinuitas. Memahami hubungan antara nilai absolut dan pertidaksamaan ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan konsep-konsep tersebut dengan lebih tepat dan mudah. Contoh: Misalnya, jika kita ingin menunjukkan bahwa limit dari fungsi f(x) ketika x mendekati a adalah L, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x-a| < δ, maka |f(x)-L| < ε. Konsep |x-a| < ε dan a-ε < x < a+ε sangat membantu dalam memahami dan membuktikan pernyataan ini. Kesimpulan:** Memahami hubungan antara |x-a| < ε dan a-ε < x < a+ε sangat penting dalam memahami konsep-konsep dasar dalam analisis real. Konsep ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan dan membuktikan konsep-konsep penting seperti limit dan kontinuitas dengan lebih mudah dan tepat.