Mengapa $cos\alpha -sin\alpha = -\frac {1}{5}$ dalam kasus ini?
Dalam soal ini, kita diberikan informasi bahwa $tan\alpha =\frac {4}{3}$ dengan $\pi \lt \alpha \lt \frac {3\pi }{2}$. Kita diminta untuk mencari nilai dari $cos\alpha -sin\alpha$. Untuk memecahkan masalah ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang relevan. Salah satu identitas yang berguna dalam kasus ini adalah $tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan identitas ini untuk menggantikan $tan\alpha$ dengan $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. Dengan demikian, kita memiliki persamaan: $\frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{4}{3}$ Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan $cos\alpha$ untuk mendapatkan: $sin\alpha = \frac{4}{3}cos\alpha$ Selanjutnya, kita dapat menggantikan $sin\alpha$ dengan $\sqrt{1-cos^2\alpha}$ menggunakan identitas trigonometri Pythagoras. Dengan demikian, kita memiliki: $\sqrt{1-cos^2\alpha} = \frac{4}{3}cos\alpha$ Kita dapat memperoleh persamaan kuadrat dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan: $1-cos^2\alpha = \frac{16}{9}cos^2\alpha$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: $1 = \frac{16}{9}cos^2\alpha + cos^2\alpha$ $1 = \frac{25}{9}cos^2\alpha$ Kita dapat memecahkan persamaan ini untuk mencari nilai dari $cos\alpha$: $cos^2\alpha = \frac{9}{25}$ $cos\alpha = \pm \frac{3}{5}$ Namun, kita diberikan informasi bahwa $\pi \lt \alpha \lt \frac {3\pi }{2}$. Dalam kuadran ketiga, nilai dari $cos\alpha$ negatif. Oleh karena itu, kita dapat mengabaikan solusi positif dan hanya mempertimbangkan solusi negatif: $cos\alpha = -\frac{3}{5}$ Selanjutnya, kita dapat menggantikan nilai $cos\alpha$ yang telah kita temukan ke dalam persamaan awal untuk mencari nilai dari $cos\alpha -sin\alpha$: $cos\alpha -sin\alpha = -\frac{3}{5} - sin\alpha$ Namun, kita perlu mencari nilai dari $sin\alpha$ untuk menghitung nilai ini. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang relevan untuk mencari nilai $sin\alpha$: $sin\alpha = \sqrt{1-cos^2\alpha}$ $sin\alpha = \sqrt{1-(-\frac{3}{5})^2}$ $sin\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}}$ $sin\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}}$ $sin\alpha = \frac{4}{5}$ Kita dapat menggantikan nilai $sin\alpha$ yang telah kita temukan ke dalam persamaan awal: $cos\alpha -sin\alpha = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5}$ $cos\alpha -sin\alpha = -\frac{7}{5}$ Jadi, dalam kasus ini, $cos\alpha -sin\alpha = -\frac{7}{5}$.