Menentukan Fungsi \( f(x) \) Berdasarkan \( (f \circ g)(x) \) dan \( g(x) \)
Dalam matematika, sering kali kita diberikan dua fungsi dan diminta untuk menentukan fungsi ketiga yang terkait dengan fungsi-fungsi tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) dan fungsi \( g(x) \), dan kita diminta untuk menentukan fungsi \( f(x) \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami konsep fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah operasi matematika yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam hal ini, kita memiliki fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \), yang berarti kita menggabungkan fungsi \( f(x) \) dengan fungsi \( g(x) \). Dalam kasus ini, kita diberikan \( (f \circ g)(x) = x^2 - 4 \) dan \( g(x) = x + 3 \). Untuk menentukan \( f(x) \), kita perlu mencari hubungan antara \( f(x) \) dan \( g(x) \). Mari kita mulai dengan menggantikan \( g(x) \) dalam fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \). Jadi, kita memiliki: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 - 4 \) Sekarang kita memiliki ekspresi untuk \( (f \circ g)(x) \). Untuk menentukan \( f(x) \), kita perlu membalikkan proses ini. Kita perlu mencari ekspresi yang menghubungkan \( f(x) \) dengan \( (f \circ g)(x) \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan konsep invers fungsi. Jika kita ingin membalikkan fungsi \( (f \circ g)(x) \), kita perlu mencari fungsi invers dari \( g(x) \) terlebih dahulu. Jadi, mari kita cari invers dari \( g(x) \). \( g(x) = x + 3 \) Untuk mencari invers dari \( g(x) \), kita perlu menukar \( x \) dan \( y \) dalam persamaan tersebut: \( x = y + 3 \) Kemudian kita selesaikan persamaan ini untuk \( y \): \( y = x - 3 \) Jadi, invers dari \( g(x) \) adalah \( g^{-1}(x) = x - 3 \). Sekarang kita memiliki invers dari \( g(x) \), kita dapat menggunakan invers ini untuk menentukan \( f(x) \). Kita dapat menggantikan \( g(x) \) dengan \( g^{-1}(x) \) dalam ekspresi \( (f \circ g)(x) \): \( (f \circ g)(x) = f(g^{-1}(x)) = f(x - 3) = (x - 3)^2 - 4 \) Jadi, \( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \). Dengan demikian, kita telah menentukan fungsi \( f(x) \) berdasarkan \( (f \circ g)(x) \) dan \( g(x) \).