Menghitung Nilai Coterminal dari Sudut Lancip dengan Cosinus yang Diketahui
<br/ >Dalam soal ini, kita diberikan informasi bahwa \( \cos x = \frac{\sqrt{5}}{5} \) dengan \( x \) adalah sudut lancip. Tugas kita adalah untuk menghitung nilai dari \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \). <br/ > <br/ >Untuk memulai, mari kita tinjau kembali definisi dari fungsi coterminal. Sudut coterminal adalah dua sudut yang memiliki terminal yang sama, tetapi berbeda dalam jumlah putaran yang dilakukan. Dalam hal ini, kita ingin mencari sudut coterminal dari \( \frac{\pi}{2}+x \). <br/ > <br/ >Pertama, kita perlu menghitung nilai dari \( \frac{\pi}{2}+x \). Karena kita diberikan informasi bahwa \( \cos x = \frac{\sqrt{5}}{5} \), kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) untuk mencari nilai dari \( \sin x \). <br/ > <br/ >Dengan menggunakan identitas tersebut, kita dapat menghitung \( \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). <br/ > <br/ >Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai dari \( \frac{\pi}{2}+x \) dengan menggunakan identitas trigonometri \( \sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos x \). Dengan demikian, kita dapat menulis \( \sin(\frac{\pi}{2}+x) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin x \). <br/ > <br/ >Mengingat \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \) dan \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \( \sin(\frac{\pi}{2}+x) = 1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x = \cos x \). <br/ > <br/ >Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \frac{\pi}{2}+x \) adalah sudut coterminal dengan \( x \). <br/ > <br/ >Dalam pilihan jawaban yang diberikan, kita mencari nilai dari \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \). Karena \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \), kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) untuk mencari nilai dari \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \). <br/ > <br/ >Dengan menggunakan identitas tersebut, kita dapat menulis \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{2}+x\right)} = \frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}} \). <br/ > <br/ >Mengingat \( \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x \) dan \( \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x \), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \frac{1}{\frac{\cos x}{-\sin x}} = \frac{-\sin x}{\cos x} \). <br/ > <br/ >Dalam hal ini, kita telah menghitung nilai dari \( \sin x = \frac{2\sqrt{5}}{5} \) dan \( \cos x = \frac{\sqrt{5}}{5} \). Dengan demikian, kita dapat menggantikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan dan menghitung nilai dari \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \). <br/ > <br/ >\( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{5} \). <br/ > <br/ >Jadi, nilai dari \( \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \) adalah \( -2\sqrt{5}/5 \). <br/ > <br/ >Dalam soal ini, jawaban yang benar adalah (B) -2.